Calculs vectoriels

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		td centre de gravités d'un tr(...)
		Bonjour Nathalie, Avant d lire

td centre de gravités d'un triangle

partie A du centre de gravités vers les vecteurs

soit abc un triangle , G son centre de gravités et A' le symétrique de A par rapport à G.On note IJ et K les
millieux respectifs de [BC],[AB] et [AC].

1°) Démontrer que GBA'C est parallélogramme.

Dans ACA'
k est le milieux de [AC]
G est le milieux de [AA']
le vecteurs KG=1/2 du vecteurs A'C D'aprés le théorémedes milieux dans AA'C.
Donc le vecteurs GK est colineaires au vecteurs A'C donc (GK)//(A'C)
or (GK)=(BG) donc (BG)//(A'C)
De la mêmen maniére,on démontre que (GC)//(A'B)
alors GBA'C est un paralélogramme.

2°)Déterminant que les vecteurs GB+GC puis Démontrer que GA+GB+GC=vecteurs nuls

GB+GC=GB+BA' car GC=BA' d'aprés 1°)
=GA'
=AG car G est le milieux de [AA']
donc GB+GC-AG=vecteurs nuls
donc GA+GB+GC=vecteurs nuls

partie b et réciproquement (voir figure précèdente )

soit un point X du plan vérifiant XA+XB+XC=vecteurs nuls
Démontrer que X est le centre de gravité du triangle
ABC(pour cela exprimer XA+XB+XC en fonction de XG

XA+XB+XC=(XG+GA)+(XG+GB)+(XG+GC)
=3XG+GA+GA+GB+GC
=3XG
Donc si XA+XB+XC=vecteurs nuls, alors
3XG=vecteurs nuls donc X=G
Donc il n'y a pas d' autre point que G qui vérifie la relation GA+GB+GC=vecteurs nuls

partie C relation vectorielle liant A, G et I(milieu de BC).

1°)Demontrer que: AG = 2/3 AI
donc GBA'C ,si I milieu des diagonales (BU)et (GA) alors (BI)=(IU) et (GI)=(IA')
donc GI=1/2 GA'
alors AI=AG+GI
AI=AG+ 1/2 GA
AI=2/2 AG + 1/2 AG
AI=3/2 AG
2/3 AI = AG

2°)Ecrire deux autres relations analogues à AG = 2/3 AI

AI= 3/2 AG
IG= 2/3 IA

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