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Racine carrée

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Marcon,

Pour faire « disparaître » une racine carré le moyen le plus simple est de l’élever au carré. Il faut dons dans chaque cas que tu trouves un moyen de multiplier par elle même la racine carré que tu as au dénominateur des fractions sans modifier la valeur globale de la fraction. Pour cela tu dois toujours te souvenir que l’on ne change pas une fraction en la multipliant en haut et en bas (au numérateur et au dénominateur) par la même valeur. Par exemple pour la fraction 2/racine(2) tu peux multiplier en haut et en bas par racine(2) sans modifier la valeur de la fraction. Je te propose de multiplier par racine(2) parceque en faisant cela tu fait apparaître au dénominateur de la fraction le produit racine(2)*racine(2) = racine(2)^2 (le symbole ^2 veut dire ici « à la puissance 2 » c'est-à-dire « au carré »), et racine(2)^2 = 2. En effet la carré d’une racine carré est égale au nombre qui est sous la racine par définition. Donc tu peux écrire que
D = 2/racine(2) + 5 = (2*racine(2)) / (racine(2)^2) + 5 = (2*racine(2)) / 2 + 5
Ce que tu peux simplifier en remarquant que 2*racine(2)) / 2 = racine(2) donc finalement
D = racine(2) + 5
Tu as ainsi une expression de D où il n’y a plus de racine au dénominateur.

Pour l’expression E c’est un tout petit plus compliqué parceque tu as une différence de deux racines au dénominateur. Le seul moyen dans ce cas de faire disparaître les deux racines est de te souvenir des identités remarquables. En effet ce que tu veux c’est faire apparaître le carré de chacune des deux racines pour qu’elles disparaissent, il faut donc que tu cherches par quoi il faut multiplier le dénominateur pour faire apparaître racine(3)^2 et racine(5)^2 . Comme tu as une différence il faut que tu penses au fait que quelque soient les nombres a et b on a toujours
(a-b)(a+b) = a^2 – b^2
Tu dois absolument connaître par coeur cette identité remarquable.
Dans cette expression tu vois que à partir de la différence des deux nombres a-b tu peux faire apparaître la différence des carré des mêmes nombres a^2 – b^2 en multipliant simplement (a-b) par (a+b). C’est exactement ce que tu cherches pour simplifier la fraction E. Il suffit donc que tu multiplies le dénominateur ET le numérateur par (racine(3) + racine(5)) pour que tu gardes la même valeur de la fraction E tout en faisant disparaître au dénominateur les deux racines. Il te resteras au dénominateur (racine(3)^2 – racine(5)^2) = -2. Je te laisse terminer la simplification de cette fraction.
Pour la dernière fraction F tu as une racine carré au numérateur et une autre au dénominateur mais il ne faut pas que tu oublie que le but de l’exercice est simplement de faire disparaître la racine du dénominateur. Tu n’as donc pas à trouver un moyen de ne plus avoir de racine au numérateur. Donc finalement tu te retrouves avec exactement la même situation que pour la fraction E c'est-à-dire que tu as la différence de deux nombres dont tu veux faire apparaître le carré. Il te suffit donc d’utiliser la même identité remarquable qu’au E c'est-à-dire que tu dois multiplier en haut et en bas de la fraction par (3 + racine(2)) car tu feras apparaître ainsi au dénominateur la différence 3^2 – 2 = 9 – 2 = 7. Il ne te reste plus qu’à calculer ce que vaut alors le numérateur qui s’écrit dans ce cas (racine(7) + 1)*( 3 + racine(2)).

Voilà, j’espère que cela t’aidera.

A bientôt et bon courage Marcon.
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