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Bonjour Catherine,

Avant de commencer l’exercice il faut que tu te souviennes que lorsque l’on te définit un plan on te définit en même temps une direction perpendiculaire au plan que l’on appelle la normale. En effet quand tu as l’équation de P 2x + y + 3z – 6 = 0 tu dois savoir qu’un des vecteurs perpendiculaire au plan P est le vecteur de coordonnées (2, 1, 3) c'est-à-dire les facteurs qu’il y a devant chaque coordonnées dans l’équation du plan. Pour la suite il est important que tu n’oublies pas que tu peux utiliser cette « normale » au plan. J’appellerai N1 la normale au plan P et N2 la normale au plan D.

Si tu prends deux feuilles de papier pour représenter les deux plans de ton exercice tu verras aisément que deux plans ne peuvent avoir que 3 types d’intersection dans l’espace :
- soit les deux plans sont confondus (l’intersection est égale au plan)
- soit les deux plans sont parallèles (l’intersection est l’ensemble vide)
- soit les deux plans sont sécants (l’intersection est une droite, c’est ce que tu obtiens lorsque tu plies une feuille de papier, le pli représente cette droite intersection)

Pour vérifier que P et D sont sécants selon une droite il suffit donc de montrer qu’ils ne sont ni parallèles, ni confondus :
- si P et D étaient confondus, leurs équation seraient nécessairement les mêmes à un facteur de proportionnalité près (tu peux toujours multiplier une équation par un constante sans la modifier). Or ce n’est pas le cas. Les deux plans P et D sont donc bien différents.
- Si P et D sont parallèles alors par définition leurs normales seront aussi parallèles. Pour exprimer que deux vecteurs sont parallèles tu peux écrire que leur produit scalaire doit être nul. Ainsi, vérifier que P et D sont parallèles ou pas revient à vérifier que le produit scalaire de N1 et N2 est nul ou pas.
N1*N2 = (2, 1, 3)*(1, 4, 2) = 2 + 4 + 6 = 12 donc le produit scalaire de N1 et N2 n’est pas nul donc les plans P et D ne sont pas parallèles

Les plans P et D ne sont ni confondus ni parallèles ils sont donc forcément sécants selon une droite d.
Pour déterminer une droite de manière unique il suffit d’avoir deux points ou un point et une direction. Ici le plus simple est de déterminer un point M appartenant à d et une direction donnée par un vecteur V ; On est donc ramené à chercher la droite donnée par l’ensemble des points de coordonnées M + k.V ou k est un réel quelconque.

Détermination d’un point M appartenant à d :
Par définition si le point M appartient à la droite intersection de P et D c’est qu’il appartient à chacun des deux plans. Tu dois donc trouver un point dont les coordonnées vérifient à la fois les deux équations de P et de D. Si tu élimines par exemple x dans ces deux équations tu arrives à une condition en y et z sur les coordonnées de n’importe quel point de d. Si tu fais le calcul tu verras que cette condition s’écrit 7y + z = 10. Ensuite il faut que tu gardes à l’esprit que tu ne cherches ici qu’un point quelconque de la droite. Tu peux donc par exemple faire l’hypothèse que d n’est pas parallèle au plan (yOz) et donc qu’il existe un point de d tel que l’abscisse x de ce point soit nul. Tu peux alors trouver un point M en résolvant le système :
x = 0
7y + z = 0
x + 4y + 2z – 8 = 0 (le troisième équation étant l’équation de D mais cela marcherait pareil en prenant l’équation de P)

En résolvant ce système tu trouvera un point M de coordonnées ( 0, 6/5, 8/5 ) et tu pourras vérifier que si tu introduit ces coordonnées dans l’équation du plan P, M est bien aussi un point du plan P.

Détermination de la direction de la droite d (détermination du vecteur V) :
Maintenant que tu as un point de d i ne te manque plus qu’une direction pour connaître d. Pour cela on va encore utilise les normales N1 et N2. Par définition d appartient à la fois à P et à D. Or la normale à un plan est perpendiculaire à toute droite appartenant au plan donc N1 et N2 sont perpendiculaires à la direction de d. Il n’y a qu’une seule direction perpendiculaire à deux vecteurs N1 et N2 non colinéaire et cette direction est donné par le produit vectoriel de N1 et N2. Tu dois donc calculer V = N1 X N2 (X signifie « produit vectoriel ») et tu auras l’équation de la droite d en disant que d est l’ensemble des points de coordonnées (0, 6/5, 8/5) + k*V (en écrivant les coordonnées du vecteur V)

La deuxième question est en fait beaucoup plus simple car il suffit dans chaque cas d’écrire les coordonnées des points des axes des repères et de les injecter dans l’équation des plans. En effet si un point appartient à la fois à l’axe du repère et à un plan il faut que ses coordonnées vérifient à la fois l’appartenance à l’axe ET l’équation du plan.
Je vais te faire un des exemples et je te laisserai faire les autres cas de la même façon. Pour trouver l’intersection de P avec l’axe des abscisses x par exemple il suffit que tu écrives ce que signifie qu’un point Q quelconque appartient à l’axe des x : par définition cela veut dire que les deux autres coordonnées de Q sont nulles. C'est-à-dire que les coordonnées de Q sont (k, 0, 0) avec k un réel quelconque. Si Q appartient à l’intersection de P et de l’axe des abscisses alors ses coordonnées doivent aussi répondre à l’équation de P. Il ne reste donc qu’à injecter les coordonnées de Q dans 2x + y + 3z – 6 = 0 ce qui donne 2*k – 6 = 0 c'est-à-dire k = 3 . Il n’y a finalement qu’un seul point de l’axe des abscisses qui appartient à P c’est le point de coordonnées (3, 0, 0)
Tu dois écrire le même raisonnement pour tous les axes du repère et pour les deux plans P et D.

Voila Catherine j’espère que cela t’aidera.
Bon courage pour tout et à bientôt.
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