Circuits électroniques et nombres complexes

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Pour l'étude de circuits électroniques, par une fonction dite de « transfert », on associe au réel ω strictement positif le complexe z=1/ (½ + 2i ω).On appelle r le module du nombre complexe z.

On se propose d'examiner deux méthodes permettant de déterminer r à partir de ω par lecture graphique.

PARTIE A.Méthode par construction de points dans le plan complexe muni d'un repère ortho normal.
On note z1 = ½ + 2i ω, pour ω>0.

1. (a) Justifier que l'ensemble des points m d'affixe z1 dans le plan complexe est, quand ω varie dans] 0 ; +infini [, une demi droite privé d'un point que l'on précisera.
(b) Que peut on dire des arguments de z1 et z ?

2. (a) Calculer les parties réelle x et imaginaire y de z en fonction de ω.
(b) Vérifier que x²+y²-2x = 0.A quel ensemble appartiennent les points M d'affixe z quand ω varie dans] 0 ; + infini [ ?

3. (a) Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M a partir du point m.
(b) Expliquer comment, à partir d'une valeur de ω, on peut déduire graphiquement une valeur approchée de r.
Appliquer cette méthode pour préciser une valeur approché de r lorsque ω = √2.

4. Par simple lecture graphique, déterminer le tableau de variation de r lorsque ω varie dans] 0 ; + infini [

PARTIE B. Méthode utilisant la fonction logarithme népérien.

1. On pose x = ln (ω) et y = ln ( r ). Démontrer que : y = -1/2 ln ( ¼ + 4 e^ (2x) )

2. On considère la fonction f définie sur R par f ( x ) = -1/2 ln ( ¼ + 4 e ^(2x) )
On appelle C la courbe représentant f dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm.
(a) Quel est le sens de variation de f ?
(b) Déterminer les limites de f en + infini et en - infini.

3. (a) Calculer lim [ f ( x ) + x + ln 2 ] quand x tend vers + infini
(b) Quelles sont les asymptotes de la courbe en C ?
( c ) Démontrer que la courbe C est toujours au dessous de ses asymptotes.

4. (a) Tracer C et, dans le même repère, la droite d'équation y = x et la courbe Γ représentative de la fonction logarithme népérien.
(b) Expliquer comment à partir d'une valeur de ω, on peut déduire graphiquement une valeur approchée de r.
Appliquer de nouveau cette méthode pour ω = √2.

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