en une : Sujet : causes de la crise de 1929

1ère question d'un devoir sur les fonctions

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Martine,

Pour ce genre de question il faut que tu sois bien rigoureuse et que tu appliques systématiquement la définition de tes fonctions dans chaque expression que tu dois vérifier. Les fonctions sont définies sur tout IR et les expressions E1 et E2 doivent être vérifiées sur tout IR aussi, donc x et y peuvent représenter n’importe quel réel. Il faut bien que tu penses que à partir de ces deux réels, on peut tout à fait définir d’autres réels de manière unique comme (x+y) ou (xy). Les deux nombres (x+y) et (xy) ne sont rien d’autre que des réels définis de manière unique à partir de x et y. Pour la fonction f ces nombres ne sont rien de plus que des éléments de IR au même titre que x ou que y, et tu peux donc leur appliquer la fonction f de la même façon que pour x et y.
Pour la fonction x -> 3x :
Pour vérifier E1 tu dois calculer trois nombres :
f(x+y)
f(x)
et f(y)
ces trois nombres sont images respectivement de trois réels quelconques qui sont (x+y), x et enfin y. Si tu appliques la définition de la fonction tu trouves dans ce cas :
f(x+y) = 3(x+y)
f(x) = 3x
f(y) = 3y
Donc pour que E1 soit vraie il faut que tu puisses écrire f(x+y) = f(x) + f(y) c’est-à-dire 3(x+y) = 3x + 3y ce qui est vrai pour n’importe quel réel x et y. Donc la fonction x -> 3x vérifie l’expression E1

Maintenant il faut vérifier E2 pour la même fonction :
Il te faut pour cela la valeur de f(xy). xy est un réel quelconque. Pour être plus clair tu peux le renommer X si tu veux. Tu as alors X = xy. Donc f(xy) = f(X) . Par définition de f, pour n’importe quel réel X tu sais que f(X) = 3X, donc c’est pareil pour le réel xy. On a donc f(xy) = 3xy.
Pour vérifier E2 il faudrait que f(xy) = f(x).f(y) c'est-à-dire que 3xy = 3x.3y MAIS tu vois bien que cette égalité est fausse parce que 3x.3y = 9xy donc il faudrait que 3xy = 9xy. Cette égalité n’est vraie QUE si x=0 ou y=0 mais elle n’est pas vraie pour n’importe quels éléments de IR donc la fonction x -> 3x ne vérifie pas E2 sur tout IR.

Je t’ai fait le raisonnement complet pour la première fonction pour que tu vois ce que tu dois vérifier pour chaque fonction. Pour chaque fonction tu dois calculer l’image par f des réels x, y, x+y et xy. Une fois que tu as ces images f(x), f(y) , f(x+y) et f(xy), il est très facile de regarder si les expressions E1 et E2 sont vraies ou pas pour n’importe quelle valeur de x et y.
Si tu procèdes bien systématiquement comme cela tu trouveras que x -> x^2 vérifie E2 mais pas E1 et que parmi les quatre fonctions proposées il n’y a que x -> x qui vérifie à la fois E1 et E2. Dans ces quatre fonctions il n’y a donc que x -> x qui appartienne à l’ensemble de fonctions que tu cherches dans ton devoir mais cela ne signifie évidemment pas qu’il n’en existe pas d’autres que tu devras peut-être trouver dans la suite de ton devoir.

J’espère que cela t’aidera. Bon courage pour la suite de ton devoir et n’hésite pas à nous poser des questions si la suite te pose problème.

Je te souhaite une très bonne année et à bientôt Martine.
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