en une : Le lexique de français

équations de droites

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Clémentine,

Pour définir de façon unique une droite dans un plan il te faut toujours deux informations. Cela peut-être les coordonnées de deux points, mais cela peut être aussi les coordonnées d’un point et une direction (c’est-à-dire un angle par rapport à une droite que tu connais déjà). Dans ton exercice on te demande justement d’utiliser la deuxième façon de définir une droite. Dans la suite j’appellerai H le point d’intersection de la hauteur issue de A avec la droite (BC). On te demande l’équation de la droite (AH). Ce qui te pose problème pour écrire cette équation c’est de ne pas connaître les coordonnées de H. C’est effectivement un moyen d’avoir l’équation d’une droite que d’avoir les coordonnées du point A et celle du point H mais ici l’information dont tu disposes sur la droite (AH) c’est que c’est une hauteur dans le triangle ABC. Il faut que tu utilises cette information. Une hauteur par définition est perpendiculaire au coté opposé au sommet dont elle est issue. Ici cela signifie que (AH) est perpendiculaire à (BC) au point H. La droite (BC) est une droite que tu connais puisque tu connais les coordonnées de deux de ses points. Tu sais que (AH) fait un angle de 90° avec la droite (BC) que tu connais donc tu as la direction de (AH). Tu disposes du point A et de la direction pour définir de manière unique la droite (AH). Maintenant que tu sais quel paramètres tu vas devoir utiliser il faut que tu saches comment les utiliser :
Chaque fois que tu dois tenir compte d’une direction, l’outil le plus pratique c’est le vecteur. Les vecteurs donnent plusieurs informations : une direction et un sens. Dans ton cas tu n’as pas besoin du sens. Par contre tu dois prendre un vecteur dont tu connais la direction (le vecteur BC) pour en déduire une information sur la direction que tu ne connais pas (celle de la droite AH). Si je te parle de vecteurs avec deux droites perpendiculaires tu dois penser tout de suite à une propriété des vecteurs : deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul. Donc si tu prends un vecteur de (AH) et un vecteur de (BC) leur produit scalaire doit être nul. C’est cette équation qui va te permettre de calculer les coordonnées du point H. L’information de direction est traduite par cette équation sur le produit scalaire : AH.BC = 0 (AH et BC sont des vecteurs dans cette équation). Il faut que tu exprimes les coordonnées de ces deux vecteurs à partir des coordonnées des points A,B, C que tu connais et de deux inconnues x et y qui sont les coordonnées de H que tu cherches à calculer. L’équation vectorielle correspond en fait à deux équations : une sur les abscisses des points et une sur les ordonnées. Avec ces deux équations tu auras les coordonnées de H.
Les coordonnées d’un vecteur se calculent en faisant la différence entre les coordonnées du point d’arrivée et celle du point de départ. Pour l’abscisse de AH cela donne donc Xah = x-4 et pour BC cela donne Xbc = 7-1 = 6 . Le produit scalaire de deux vecteurs s’obtient en multipliant simplement l’abscisse du premier vecteur avec celle du deuxième puis la même chose avec les ordonnées. Tu as donc une première équation sur les abscisses qui est Xah * Xbc = (x-4)*6 = 6x-24
Comme AH et BC sont orthogonaux on doit avoir 6x-24 = 0 donc x = 4 . La première coordonnée de H est donc 4. Tu fais la même chose avec les ordonnées pour avoir la deuxième coordonnée de H. Tu te seras alors ramenée à la situation ou tu connais les coordonnées de deux des points de la droite (AH). Tu pourras alors calculer son équation avec la méthode habituelle où tu calcules la pente a et l’ordonnée à l’origine b de l’équation y = ax+b à partir des deux équations en A et H où tu connais y et x . Cela te donne deux équations à deux inconnues que tu sais résoudre pour trouver a et b.

En espérant que cela t’aidera. Bon courage.

A bientôt et joyeux Noël Clémentine!
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