en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Configuration,transformation(complexes)

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Bonjour Hilal,

Les nombres complexes ont été introduits pour pouvoir écrire une solution pour les racines négatives, mais ils sont aussi très pratiques pour travailler dans le plan parce qu’ils regroupent en un seul nombre les deux coordonnées d’un point dans le plan. Il faut donc que tu associes bien la partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe a deux coordonnées dans le plan. Si z = a + ib, a est la coordonnée de z sur l’axe des réels (tu peux le voir comme l’équivalent de l’axe des abscisses du plan réel), et b est sa coordonnée sur l’axe des imaginaires purs (équivalent de l’axe des ordonnées). Pour placer les 3 points tu dois tracer un repère avec deux axes orthogonaux et prendre les « coordonnées » de chaque point en séparant partie réelles et partie imaginaire. A n’a qu’une partie réelle égale à racine(2)/2, tu dois donc le placer sur l’axe des réels (abscisse, horizontal). B et C ont des affixes écrites sous une forme pratique pour les rotations notamment, avec le produit du module fois une exponentielle qui dépend de l’argument du complexe. Cette façon d’écrire le complexe a des avantages dans certains cas mais il faut toujours que tu gardes à l’esprit que exp(it) peut toujours se réécrire ne séparant partie réelle et imaginaire sous la forme exp(it) = cos(t) + isin(t). Tu retrouves alors les deux coordonnées nécessaires pour placer facilement les points dans ton repère. Pour B tu as b = 2cos(Pi/4) + 2isin(Pi/4) = 2*racine(2)/2 + 2*i*racine(2)/2 = racine(2) + i*racine(2). Les deux coordonnées du point B sont donc racine(2) sur l’axe des réels et racine(2) sur l’axe des imaginaires purs. Cela te permet de placer le point dans le quart positif du plan complexe.

On te pose des questions après sur différentes transformations du plan complexe. D’abord l’homothétie :

La définition de l’homothétie appliquée à C s’écrit vecteur(AD) = -3 vecteur(AC) . Tu as ici une égalité entre deux vecteurs. Pour pouvoir placer le point D il faut donc que tu saches réexprimer l’égalité vectorielle avec les affixes de chacun des points. Avec deux valeurs et un point tu définir un vecteur. Le point est le point de départ du vecteur (le point A pour le vecteur AD), et les deux valeurs correspondent à la longueur et au sens du vecteur sur chaque axe. Il faut donc que tu calcules la différence des parties réelles de a et d pour avoir la longueur et le sens de AD sur l’axe des réels, et que tu calcules la différence de leurs parties imaginaires pour avoir la même chose sur l’axe des imaginaires. Pour avoir le sens il faut que tu fasse bien toujours les différences dans le bon sens : point d’arrivée du vecteur moins point de départ, donc d-a pour le vecteur AD. Tu écris cela pour AD et AC, et ensuite l’égalité vectorielle vecteur(AD) = -3 vecteur(AC) t’impose deux égalités, une pour chaque « coordonnées » réelle, et imaginaire. Cela te donne par exemple pour les réels : Re(d) – Re(a) = -3*( Re(c)- Re(a)) (la notation Re veut dire partie réelle). Cela te donne Re(d)-racine(2)/2 = -3*(racine(2)-racine(2)/2) et donc Re(d)=racine(2). Tu fais pareil pour la partie imaginaire et tu auras comme ça les deux composantes nécessaires pour placer le point D dans ton repère. Pour vérifier que tu as bien calculé la bonne affixe de D tu peux vérifier que les points C, A et D sont alignés car l’égalité vectorielle impose que ces trois points soient sur une même droite.

Après l’homothétie, on te demande de travailler avec une rotation. Une rotation consiste en fait à rajouter un angle à l’argument d’un nombre complexe. En effet si tu prends un point Z quelconque du plan complexe. Tu traces le segment reliant O à ce point. Appliquer une rotation de centre O cela va consister à avoir un nouveau segment OZ’ de même longueur que OZ mais ayant tourné d’un certain angle. Etant donné que la rotation n’agit que sur cet angle, lorsque tu travailles avec des rotations, il est très pratique d’écrire les nombres complexes sous la forme z = r*exp(it) même si tu dois revenir après à l’écriture sous forme z = a +ib. Les deux formes sont égales mais la forme exponentielle est plus facile à manipuler avec les rotations parce que la rotation multiplie l’affixe par une exponentielle et le produit de deux exponentielles est très facile à calculer. Dans ton cas, tu as une rotation de centre O et d’angle -Pi/2 (tu as mis +Pi/2 mais je pense que c’est un – sinon E est confondu avec B), elle modifie donc les nombres complexes en ajoutant Pi/2 à leur argument. Donc pour totu nombre complexe z=r*exp(i*t), l’image de z par cette rotation sera z’=z*exp(i*Pi/2)= r*exp(i*t)*exp(iPi/2)=r*exp(i*(t+Pi/2)). Tu peux appliquer cela à C en prenant r=2 et t = -Pi/4. Tu auras alors l’affixe de E sous forme exponentielle. Si tu as besoin de l’avoir sous forme a+ib il suffit que tu penses que tu peux toujours écrire exp(i*t)=cos(t) + i*sin(t).
Pour le calcul du quotient il suffit de remplacer a, d, e et b par leurs valeurs et de bien faire attention à ne pas mélanger les parties réelles avec les parties imaginaires. Tu vas arriver à un quotient où il y aura des termes imaginaire au dénominateur, ce qui n’est pas pratique du tout. Ce qu’il faut faire dans ce cas c’est multiplier au numérateur ET au dénominateur par le nombre complexe conjugué. Je te montre : Dans le calcul du quotient z tu vas arriver à z =-(3/2)*(1/2-i)/(1-i). Il ne faut pas que tu laisse la partie (1/2-i)/(1-i) sous cette forme parce qu’il y a i dans le dénominateur. Tu multiplies en haut et en bas (donc c’est égal à ce que tu as pour l’instant) par le complexe conjugué de (1-i) c'est-à-dire (1+i). Tu as alors (1/2-i)*(1+i) au numérateur et au dénominateur tu as (1-i)*(1+i)=1 + i – i – i^2 = 1 – i^2 = 2 car tu sais que i^2 = -1 .Maintenant le dénominateur vaut 2, donc il n’y a plus de nombre imaginaire en bas.

Pour calculer l’affixe du milieu d’un segment dis toi que par définition le milieu doit avoir des coordonnées à mi-chemin des coordonnées des extrémités du segment. Là encore il faut que tu sépares les calculs sur chacune des coordonnées, c'est-à-dire partie réelle et partie imaginaire. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités. Dans ton cas tu dois calculer Re(I) = ( Re(d) + Re(e) )/2 et tu fais la même chose pour la partie imaginaire. Pour vérifier que tu as les bons points jusque là je t’indique que le segment ED doit être vertical et que I a la même partie imaginaire que B.
Puisque I et B ont la même partie imaginaire FB est un segment horizontal puisque F est le symétrique de B par rapport à I. Pour calculer les coordonnées de F pense que si F est le symétrique de B par rapport à I alors I est aussi le milieu du segment BF. Tu peux alors faire les mêmes calculs que pour trouver le milieu de ED mais cette fois tu travailles avec le segment BF et les inconnues ce sont les coordonnées de F. Tu dois trouver que l’affixe de F est f = -3*racine(2) + i*racine(2).
Maintenant tu as les affixes des quatre points BDFE, tu peux alors calculer la longueur des diagonales DE et BF, pour trouver qu’elles sont égales. (pour ca tu calcules ||b-f||=racine(b^2 + f^2) et tu fais pareil pour DE). Ensuite il suffit de dire que BDFE est un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur, se coupent en leur milieu I, et sont orthogonales (puisque BF est horizontal et DE est vertical) donc BDFE est un carré.

J’espère que cela t’aidera. N’hésite pas à donner un maximum de détail sur ce que tu as déjà fait dans l’exercice et sur ce que tu ne comprend pas bien pour que l’on puisse vraiment répondre exactement à ce qui te gêne.
Lorsque l’on te fait une demande de précisions, il faut que tu fasses comme si tu posais une nouvelle question sur le site, où tu nous donnes les précisions que l’on t’a demandé. Tu n’auras pas de points débités de ton compte puisque en réalité ce n’est pas une nouvelle question mais simplement des précisions sur une question précédente, mais si tu fais comme cela nous pourrons recevoir tes précisions et répondre ainsi à ta question.

Bon courage pour l’apprentissage des nombres complexes et à bientôt.
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