en une : Le raisonnement par récurrence

Les suites

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Bonjour !

La "récurrence" consiste en une condition (sur un objet à un rang "n-1") pour la définition de l'objet à un rang "n".
En clair : définir une suite (u(n)) "par récurrence", ça veut dire : donner l'expression mathématique de u(n) en fonction de u(n-1) (et il faut aussi donner la valeur numérique d'un terme de la suite - par exemple, u(0) ou u(1) - si l'on veut pouvoir calculer les autres termes. Par exemple : soit la suite (u(n)) définie par : u(0)=3 et u(n)=2.u(n-1) pour n supérieur ou égal à 1.
Cette définition te permet de calculer u(n) connaissant u(n-1) : ainsi, u(1)=2.u(0)=6 ; u(2)=2.u(1)=12 ; ...

D'autre part, le "principe de récurrence" est un principe qui permet de démontrer une propriété dépendant de n (par exemple : la propriété "(1/2) à la puissance n est inférieur ou égal à 1"), en montrant que : si cette propriété est vraie au rang (n-1), alors elle est également vraie au rang (n). Ainsi, si on réussit à montrer que la propriété est vraie pour n=4, alors on est sûr qu'elle sera aussi vraie pour n=5 ; mais comme elle sera vraie pour n=5, elle sera aussi vraie pour n=6 ; etc (pour tous les entiers supérieurs à 4).
Il suffit donc de démontrer qu'elle est vraie pour une valeur de n donnée (appelons-la : n0). Grâce à ça, on pourra déduire que la propriété est aussi vraie au rang (n0+1), ce qui entraînera qu'elle est vraie au rang (n0+2), ... Nous aurons donc démontré qu'elle est vraie pour tous les entiers supérieurs à n0.
Une démonstration par récurrence se passe donc en 2 étapes : dans la première, on montre que la propriété est "héritable" quand on augmente n de 1 unité ; dans la deuxième étape, on "ancre" cette série de propriétés dans la réalité : en montrant que la propriété est vraie en n0, on permet à cette chaîne de propriétés de commencer à être vraies (au rang n0).

Dans l'exemple de "(1/2) à la puissance n est inférieur ou égal à 1" :
Première étape : si jamais on avait, pour un n0 donné, la propriété : "(1/2) à la puissance n0 est inférieur ou égal à 1", alors on aurait :
(1/2)^(n+1)=1/2.(1/2)^n
avec (1/2)^n donc, puisque (1/2) est positif :
(1/2)^(n+1) (1/2)^(n+1) donc a fortiori :
(1/2)^(n+1) Deuxième étape :
dans le cas où n=0, on a : (1/2)^n0=(1/2)^0=1
or 1 est inférieur ou égal à 1, donc :
(1/2)^n0 donc la propriété est vraie au rang n0=0.
Ainsi, par le principe de récurrence, cette propriété est vraie pour tous les entiers n supérieurs ou égaux à 0.
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