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Pivot de gauss

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Le pivot de Gauss, c'est justement une méthode, pour éviter que les résolutions de systèmes d'équations ne partent dans tous les sens.

C'est une progression raisonnée, méthodique, pour faire disparaitre les unes après les autres, les inconnues de tes équations, en combinant les équations entre elles.

Exemple : soit le système
3x-2y+z=6
x+2y+2z=3
x+y-2z=1

Ton but : obtenir un système de trois équations, de la forme :
ax+by+cz=d
b'y+c'z=d'
c"z=d"

(un tel système est trivial à résoudre : la dernière équation te donne directement z, la deuxième, connaissant z, te donne y, et la première te donne x, puisque tu as déjà calculé y et z)

Pour obtenir un tel système triangulaire, tu t'arranges pour :
1. faire disparaitre une inconnue à chaque étape de calcul
2. conserver une équation qui met en relation cette inconnue, avec celles qui restent en course.

Dans notre exemple :
La troisième équation, qui a l'air assez simple, nous servira de pivot (comme elle est simple, les combinaisons entre équations ne seront pas trop tordues) : on va donc, d'une part, conserver cette équation, et d'autre part, la combiner avec chacune des deux autres pour faire sauter la première inconnue, x :

x+y-2z=1 (c'était l'équation L3)
5y+5z=-3 (en faisant 3L3-L1, on vire le x)
y+4z=2 (en faisant L2-L3, on vire le x)

Etape suivante : on fait disparaitre le y, en conservant une équation (par exemple, la L2) où il intervient avec z :

x+y-2z=1 (on ne touche pas à l'équation L1)
5y+5z=-3 (on garde aussi L2)
15z=13 (en faisant 5L3-L2, on vire le y)

Après, tu calcules z, cont, utilisant L2, tu remontes à y, et utilisant L1, tu remontes à x.

Le pivot de Gauss, c'est cette élimination progressive et raisonnée des inconnues, les unes après les autres ... "
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