en une : Le lexique de français

Nombre d'or,.. j'adore ! [...] _ & suites

Mathematiques > sujets expliqués - 23/09/2009 - correction
                
Bonjour !
J'aurais besoins d'indication pour effectuer mon travail à la maison.
Voici l'ennoncé:

(ne trouvant pas le symbole Phi je l'ai remplacé par Delta)
A] Le nombre d'or
1) Résoudre dans l'équation x²-x-1 = 0
La solution positive, notée est appelée "nombre d'or"

2) Démontrer les égalités:
$\Delta $²= $\Delta $+1
1+1/$\Delta $=$\Delta $
$\sqrt{1+[tex]$\Delta $}$[/tex]=$\Delta $
($\Delta $²+1)/2$\Delta $-1= $\Delta $

B] La suite (an)
On pose a0=2, pour tout n0, an+1= 1+(1/an).
1) Montrer que, pour tout n1, 3/2$\leq $an$\leq $2

2) Prouver que, pour tout n1, |an+1-| $\leq $ 4/9 |an-$\Delta $|. (Utiliser la question A]2))

3) En déduire, par récurrence, que pour n1 :
|an-$\Delta $| $\leq $ (4/9)n-1|a1-$\Delta $| puis que:
|an-$\Delta $| $\leq $ (4/9)n (pour n1)

4) Prouver que (an) est convergente et déterminer sa limite.

5) Déterminer un entier n1, tel que, si n$\geq $n1, alors:
|an-|$\leq $10^-6

Voilà un ennoncé un peu consistant, je dois le reconnaître (;
En ce qui concerne l'exercice, pour les questions:
A]1) Je l'ai traitée ... On trouve le nombre d'or égal à 1+5/2 et 1-5/2. Sachant qu'on veut prendre un nombre positif on ne garde que 1+5/2.

A]2) Pour $\Delta $²=+1, c'est résolu.
On trouve (5+3)/2 pour les deux termes.

Pour 1+(1/$\Delta $)=$\Delta $, en caculant on trouve bien 1+5/2 à la fin dans les deux cas.

Pour $\sqrt{1+[tex]$\Delta $}$[/tex]=$\Delta $, j'ai besoin d'un peu d'aide en ce qui concerne le développement car je m'enmêle un peu les pinceau...

Pour ($\Delta $²+1)/(2-1)=$\Delta $, je ne l'ai pas encore traitée, mais je suppose qu'il faut réutiliser les deux premières égalités ?

Je n'ai pas encore touché à la partie B] parce que j'aime bien que tout soit clair dans la partie précédente.
Mais quelques conseils d'applications sont les biens venus.
Ps: J'espère que la question restera ouverte quand même après votre réponse,si jamais je bloque après dans B].
Et puis désolé si jamais un caractère s'est mal affiché :s

Merci d'avance de m'apporter votre aide !
Documents attachés :    aucun document joint.