en une : Le lexique de français

Nombre d'or,.. j'adore ! [...] _ & suites

Mathematiques > sujets expliqués - 23/09/2009 - correction
                
C'est okay pour la suite réccurente j'ai trouvé, merci.

Pour le 2) je proposerai:
a(n+1) = 1+(1/an)
Phi = 1+1/Phi

En soustrayant membre à membre:
[a(n+1)|-Phi] = 1/a(n) - 1/Phi = [Phi-a(n)]/[a(n)Phi]
Alors a(n) > 3/2 et Phi = 1,62 > 3/2 (encadrements déjà faits)
Donc a(n) Phi > 9/4
En bref, |a(n+1)-Phi < 4/9 |an-Phi|

Est-ce juste?

3) Je sais pas si c'est juste mais voilà ce qu'il en est:

Démonstration par récurrence
Initialisation à l'ordre 0:
|a0-Phi| < (4/9)^0-1 X |a1-Phi|,
|2-Phi|<(4/9)^1 * |3/2 - Phi|,
comme on multiplie 3/2 par 4/9 alors c'est vrai.
Hérédité:
On suppose que |an-Phi|<(4/9)^n-1 * |a1-Phi|, est vraie pour un certain n, à démontrer, |an+1-Phi| < (4/9)^n+1-1 * |a1 - Phi|,

D'après l'hypothèse de récurrence |an-Phi|<(4/9)^n-1*|a1-Phi|
On sait que |an+1-Phi|<(4/9)*(an-Phi),
|an+1-Phi<(4/9)*|an-Phi<(4/9)*(4/9)^n-1*|a1-Phi|
|an+1-Phi|<4/9 * |an-Phi|<(4/9)*(4/9)^n-1*|a1-Phi|<(4/9)*(4/9)^n * |a1-Phi|

En conclusion, l'hypothèse de récurrence est vrai au rang n+1 donc pour
(n>1) |an-Phi| < (4/9)^n-1 * |a1-Phi|, et |a^n-Phi<(4/9)^n

J'espère que ça ira pour la lecture :s

4) On a |an-Phi| < (4/9)^n,
la suite (4/9)^n-1 converge vers 0; par le théorème des gendarmes, |an-Phi| converge vers 0, et donc an converge vers Phi.

Juste?

5) Je trouve approximativement n1=16 pour une borne supérieur d'ordre 5,215*10^-6.
J'aimerai un peu d'aide pour la rédaction de cette question sachant que c'est juste un résultat trouvé avec la calculatrice, pas d'autre moyen de trouver ce résultat par le calcul?

Merci encore ;)
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