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Devoir de mathématiques_barycentres et suites

Mathematiques > sujets expliqués - 07/09/2009 - correction
                
Bonjour,

J'ai travaillé sur les questions et je voilà ce que ça donne:

1.a. x= 1 ; y= -1

1.b On utilise la propriété des vecteurs: (J'ai mis un delta à la place d'un oméga, ne le trouvant pas)
*$\overrightarrow{\Delta M}$ (x-1 ; y+1) et $\Delta $M² est égale à (x-1)²+(y+1)² = x²+y²-2x+2y+2

*$\overrightarrow{\Delta M' }$ ((1-y)/(2-1))² ; (x-3)/(2+1) et $\Delta $M'² est égale à ((-y-1)/2)² + ((x-1)/2)² = (x²+y²-2x+2y+2)/4 = (($\Delta M$)/4)²

*$\Delta $M' ² = (($\Delta $M)/4)² donc $\Delta $M' = ($\Delta $M)/2

Soit $\Delta $M' = 1/2 $\Delta $M

1.c Pythagore ?

2. a. $\overrightarrow{\Delta{M}_{0}}$ (4 $\sqrt{3}$ ; 4) donc $\Delta {M}_{0}$ ² = 16 X 3 + 16 = 64 et $\Delta {M}_{0}$ = 8.
On utilise le résultat précédent et on a $\Delta {M}_{1}$ = $\Delta {M}_{0}$ / 2 = 4 puis $\Delta {M}_{2}$ = 2 ... $\Delta {M}_{n}$ = 8/ ${2}^{n}$
(la suite géométrique)

2.b Pour la construction des points ${M}_{0}$ (1+ 4 $\sqrt{3}$ ; 3), l'abscisse de ${M}_{1}$ est 0,5 X (1 - ${y}_{0}$) = 0,5 X ( 1-3) = 1
Son ordonnée est 0,5 X (${x}_{0}$ - 3) = 0,5 X (1 + 4 $\sqrt{3}$ - 3) = 0,5 X (4 $\sqrt{3}$ - 2) = 2 $\sqrt{3}$ - 1
Et on refait de même pour trouver les coordonnées de ${M}_{2}$ ... etc

2.c. solution géométrique?
8/ ${2}^{n}$ < 0,05
8< 0,05 X ${2}^{n}$
8/ 0,05 < ${2}^{n}$
=> 160 < ${2}^{n}$ ??

3.a. En ayant les coordonnées des points (2.b) on calcule les longueurs de vecteurs avec la relation AB = [Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ]. Juste?

3.b. On obtient un coté en multipliant le précédent par 1/2 donc on a bien une suite géométrique:

(1/2)^n tend vers 0 quand n tend vers + infini.
${d}_{0}$ X (1-1/2^n)/(1-1/2)
tend vers ${d}_{0}$ X 1/ (1-1/2) = 2 ${d}_{0}$

Le premier terme est bien ${d}_{0}$ = $4 \sqrt{5}$

$4 \sqrt{5}$ ((1-(1/2)^n + 1)/ (1/2))
= $8 \sqrt{5}$ (1-(1/2)^n +1)

Si n tend vers + infini alors 1/2^n + 1 tend vers 0 et la limite est $8 \sqrt{5}$.

4.a. Par définition du barycentre dans le cas du problème (vecteur)
(1+1+1+1+...+1) $\Delta $ Gn = 1$\Delta $Mo + 1 $\Delta $M1 + 1 $\Delta $M2 + ... + 1$\Delta $Mn
en passant aux normes :
(n+1) $\Delta $[/tex</strong>n <=> [tex]$\Delta $Mo + $\Delta $M1 +...+ $\Delta $Mn
(n+1) [tex]$\Delta $[/texn <=> 8 + 4 + 2 +...+ 8/2^n
(n+1) [tex]$\Delta $[/texn <=> 8 (1+1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n)
(n+1) [tex]$\Delta $[/texn <=> 8 ((1-(1/2^n) +1) / (-1 -1/2))
<=> 8(1) / 1-1/2 = 16

4.b. donc [tex]$\Delta $[/texn <=> 16/n+1, cette distance tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

J'espère avoir quelques réponses justes ... :)
Merci pour votre aide !
Ps: J'espère que les symboles du mode maths sont tous correctes et compréhensibles :s
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