en une : Le raisonnement par récurrence

équation cartésienne

Mathematiques > sujets expliqués - 23/06/2009 - correction
                
Bonjour !

Alors déjà, pour la première question :

Si A est sur la droite, la distance de A à la droite est nulle ! En effet, quelle est la distance à parcourir pour aller de A à la droite d ? Si on est déjà sur la droite, il y a zéro mètres à parcourir pour aller sur la droite !

2)
Je pense que cela doit être dans votre cours :
Si on a une droite dont une équation cartésienne est la suivante : ax+by+c=0, où a,b et c sont des paramètres donnés, alors toute droite perpendiculaire à celle ci admet comme équation paramétrique : -bx+ay+d=0, où d est un nombre donné, et réciproquement toute droite qui admet une équation cartésienne de cette forme est perpendiculaire à la première.
Ainsi, la droite delta admet comme éqaution cartésienne :
-x+2y+d=0. Mais qu'est ce nombre d ?
Dire que la droite (delta) admet une telle équation cartésienne, c'est dire que cette droite est l'ensemble des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient l'équation -x+2y+d=0.
On sait que A est sur la droite delta (par définition !), donc les coordonnées de A doivent vérifier l'équation -x+2y+d=0.
Ainsi, 2+2+d=0, donc d=-4.
Ainsi la droite delta admet comme équation cartésienne :
-x+2y-4=0.

Ensuite, notons H le point d'intersection de d et delta. Notons (x,y) ses coordonnées. On veut trouver x et y, qui sont DEUX inconnues. On a donc besoin de DEUX équations pour trouver x et y.
H est sur d, donc x et y vérifient l'équation de d :
2x+y-1=0.
H est aussi sur delta, donc ses coordonnées vérifient aussi l'équation de delta :
-x+2y-4=0.

Je vous laisse le soin de résoudre le système de deux équations à deux inconnues ainsi obtenu.

Enfin, la distance de A à la droite d est la distance MINIMALE qu'il faut parcourir pour aller de A à la droite d, c'est à dire la distance entre A et son projeté orthogonal sur d, c'est à dire H. (en effet, si vous devez vous diriger vers un mur, en faisant le moins de pas possible, vous allez emprunter la trajectoire qui est en ligne droite perpendiculaire au mur !)

Bonne continuation !
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