Bonjour,
j'ai regardé ce que tu as fais et il me semble que la fin de ta réponse 1 est un peu bancale...
En fait tu expliques (d'après ce que j'ai compris) que si (L0,L1,...Ln-1) est génératrice, alors (L0,L1,...,Ln) ne l'est pas, ce qui est faux ! Rappelles-toi, si une famille de vecteurs
est génératrice d'un espace vectoriel donné alors toute famille de la forme
est elle aussi génératrice !
Ce que j'aurai envie de montrer, c'est tout d'abord qu'elle est libre, puis on explique qu'une famille libre de n+1 vecteurs d'un espace de dimension n+1 est une base.
Pour montrer qu'elle est libre, fastoche ! ça ressemble un peu à ce que tu as fait :
On suppose qu'il existe un ensemble de n+1 nombres complexes
tels que
.
Ensuite il faut montrer que cela implique forcément que
.
Pour cela il y a une astuce. Il faut te souvenir qu'avec les polynômes, les racines sont toujours des points intéressants. Ici c'est la clef...
Pour la question 2 une fois que la question 1 est comprise, ça devient là aussi facile. Le tout c'est d'avoir la première idée.
Bon courage !
Et rappelle-toi, pour les polynômes il y a deux trucs à utiliser à la pelle : le degré et les racines !
(Ã la fin du message une petite astuce pour la 2, ne regarde que si tu bloques encore !)
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Question 2 :
Pour identifier les différents coefficients d'un polynôme P dans la base (Li) il suffit là encore de se servir des racines des Li !
En effet à la racine ai on a :
P(ai) = somme sur j des alpha_j Lj(ai) = alpha_i Li(ai)
D'où alpha_i = P(ai)/L(ai)=P(ai) !
Et voila pour la question 2 !