en une : Le raisonnement par récurrence

Fonction dérivées

Mathematiques > sujets expliqués - 17/04/2009 - Question simple
                
Bonjour,

Oula, pas facile d'expliquer les fonctions dérivées avec un simple message ^^

Alors déjà, la "théorie" ... Une fonction dérivée c'est une fonction qui à chaque point de la courbe associe la pente de la tangente à la courbe. En d'autres termes, tu traces une fonction donnée. Pour chaque x, tu regardes la tangente à la courbe, tu regardes la pente de cette tangente, et voilà c'est la valeur de la dérivée au point x !!
Ainsi, la dérivée reflète la pente de la courbe et ses variations : si la dérivée est positive en un point, alors la pente de la courbe en ce point est positif, c'est-à-dire que, en ce point, la courbe est en train de "monter" . Et inversement pour négatif.

Est-ce-que c'est un peu plus clair niveau "théorie" ?
Et sache que les dérivées sont très utiles : ça permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire les tangentes, de trouver les maximum et minimum de la fonction ... et plein d'autres choses si tu continues les sciences après le lycée :p (Moi-même, je fais une école de chimie et j'en utilise !!)
Tu peux aussi voir l'article de wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e en particulier le paragraphe "Approche intuitive" ...
Bon rassure-toi, en pratique, il y a plein de formule pour calculer "facilement" la dérivée d'une fonction, ça demande juste un peu d'entraînement ;)

Passons à la "pratique" maintenant. Rien de bien sorcier : ce sont des formules à appliquer ... Y a pas de magie, là va falloir apprendre un peu par coeur ^^'. Il faut que tu te crées tes propres moyens mnémotechniques. Je pars du principe que tu as fait le cours et que tu as les formules (au pire elles sont répertoriées à la fin de l'article wikipedia).

Bon, voyons tes exemples
f(x) est simplement une somme de 3 fonctions : tu les dérives chacune et tu additionnes (ou soustraits selon) les dérivées.
Je note la dérivée de (f) (f)'
(3x²)'=6x
(1/x)'=-1/x²
(5x)'=5

Donc, puisque f(x)=3x²-1/x+5x, la dérivée vaut :
f'(x)=6x-(-1/x²)+5

Voilà, quand tu as une somme ou une soustraction de fonctions, suit cette méthode.

Ensuite, h est un quotient de fonctions. On note h1(x)=7x-13 et h2(x)=4x²+5
soit h(x)=h1(x)/h2(x)
On a une formule pour dériver ça :
$g(x)=\frac{h1'(x).h2(x)-h2'(x).h1(x)}{[h2(x)]²}$
Tu dérives séparément h1(x) et h2(x) comme tu as fait pour f :
h1'(x)=7 (la dérivée de 13 ou de toute autre constante vaut 0, ce qui est logique si tu repenses à l'histoire de pente ...)
h2'(x)=8x

Ne reste plus qu'à remplacer dans la formule et à réarranger ... Je te laisse le faire, finalement tu dois trouver
h'(x)=$\frac{-28x²+104x+35}{(4x²+5)²}$
Ca parait un peu fastifieux comme calcul mais avec le temps et l'expérience tu arriveras à faire ça directement sur ta feuille, sans calculer à part. Pour le début, je pense que c'est mieux de ne pas aller trop vite et de bien décomposer ta fonction ;)

Enfin, g est cette fois un produit (bien choisis tes exemples ;) ). Tu fais le même principe tu poses g1 le premier membre du produit, g2 le 2eme.
La formule pour un produit est
g(x)=g1(x).g2(x) -->
g'(x)=g1'(x).g2(x)+g1(x).g2'(x)

Pareil, tu calcules de la même façon g1'(x), g2'(x), tu remplaces tout dans la formule, tu réarranges ... Je te laisse le chercher. A la fin tu dois trouver
g'(x)=$5{x}^{4}-8{x}^{3}-9x²+8²-12$
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