Exercice simple

Mathematiques > sujets expliqués - 19/01/2007 - correction

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		J'ai un contrôle lundi et je lire
		1 a pour etudier le sens de v lire

1
a pour etudier le sens de variation, on etudie le signe de la derivee, exercice classique :

C'(q) = 0.1q + 1

or q est positif, donc C' est toujours positif sur l'intervalle considere, et donc C est toujours croissante, ce qui est normal, plus on produit, plus ce la coute cher.

|------------------------------------------------------|
| q | 0 100|
|---------|--------------------------------------------|
| C'(q)| + |
|------------------------------------------------------|
|C(q) | croissante |
|------------------------------------------------------|

b)
C(q) = 480
0,05q ² + q + 80 = 450
0,05q ² + q + -400 = 0

resolution d'equation classique, on calcule le determinant, et on trouve les racines 80 et -100, on ne garde que 80 puisque q est compris entre 0 et 100.

80 est donc le nombre de milliers de poupees que l'on peut produire avec 480 000 euros.

2
R est affine, donc R(q) = a*q + b
or
R(50) = a*50 + b
R(60) = a*60 + b
on soustrait membre a membre :
R(60) - R(50) = (a*60 + b) - (a*50 + b)
360 - 300 = a*10
a = 6

donc R(50) = 6*50 + b
300 = 300 + b
b = 0

R est donc lineaire, ce qui n'est pas etonnant, si on ne vend rien, on ne gagne rien.

3
a) les benefices sont egaux aux gains moins les couts, donc a R - C :
R(q) - C(q)
=6*q - (0,05q ² + q + 80)
=-0,05q ² + 5q – 80
=B(q)

b) meme travail pour le sens de variation que pour la premiere question
B'(q) = -0.1*q + 5
q<50 alors B'(q) positif, et B croissante
q>50alors B'(q) negatif, et B decroissante

B est croissante, puis decroissante, B(q) est maximal pour le q ou survient le changement de variation, c'est a dire 50.

c)la plage de production correspond a B>0, on va donc chercher les racines de B(q) = 0 et l'intervalle entre les deux racines sera notre plage de prodution (B a un maximum positif en 50, les deux points snt donc de part et d'autre.
en resolvant B(q) = 0, on trouve 20 et 80.

4) pas grand chose a faire pour cette question, il suffit de tracer les 2 courbes, on note qu'elles se coupent en 20 et 80, et qu'entre ces deux point, R est au dessus de C, c'est bien la plage de production, cette zonne entre les deux courbes est a hachurer en rouge.

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