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Géométrie dans l'espace

Mathematiques > sujets expliqués - 28/11/2008 - Question simple
                
On cherche le(s) plan(s) (P) d'équation ax+by+cz+d=0.
On cherche donc à déterminer (a,b,c,d). (a,b,c) est un vecteur normal de P.

Exploitons les hypothèses :
-> (D) appartient à (P), donc son vecteur directeur et orthogonal à (a,b,c). Le vecteur directeur de D est trouvé en mettant son équation sous forme paramétrique par exemple : (0,1,1) est un vecteur directeur de D. Il est orthogonal à (a,b,c), ce qui donne la première équation : b+c=0

->P coupe P1 et P2 suivant deux droites orthogonales. Ces droites sont d'équations :
ax+by+cz+d=0
y=5x

et

ax+by+cz+d=0
y=-5x

on trouve un de leurs vecteurs directeurs, respectivement $\left(1,5,-\frac{a+5b}{c}\right)$ et $\left(1,-5,\frac{5b-a}{C}\right)$ par exemple.
On écrit ensuite que ces vecteurs sont orthogonaux, ce qui donne la seconde équation : 25b²-a² = -24c²

-> on résout alors le système formé par ces deux équations, et on trouve : b= -c, a=7b ou a = -7b

L'équation de P est alors (7x+y-z)b +d = 0 ou (-7x +y-z)b+d=0.
Prenons le point (7/6, -8/3,0) dont on sait qu'il appartient à P (car il appartient à D) et injectons ses coordonnées dans les équations. Pour la première, cela mène à $b=\frac{-6d}{33}$, pour la seconde à $\frac{6d}{65}$.

On trouve ainsi que les deux plans répondant aux hypothèses sont ceux d'équations : $7x+y-z-\frac{33}{6}=0$ et $-7x+y-z+\frac{65}{6}=0$

Voilà, j'espère ne pas m'être trompé dans les calculs.
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