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Mathematiques > sujets expliqués - 04/10/2008 - correction

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		On se propose de trouver si po lire
		DM 04/10/2008 La Fonction nu lire

On se propose de trouver si possible toutes les fonctions f définies continues et dérivables sur IR telles que:
pour tous x et y de IR, f(x+y)=f(x) X f(y) [identité 1]

A.Vérifier que la fonction nul définie par nul(x)=0 (fonction nulle) est une des solutions du problème.

B. Soit f une fonction solution quelconque du problème, autre que la fonction nul.
1.Montrer en raisonnant par l'absurde que la fonction f ne s'annule jamais, c'est-à dire que, pour tt x de IR, f(x) différent de 0.
2.Montrer que f(0)=1. On pourra prendre x=y=0 dans l'identité 1.
3.Montrer que pour tt x de IR, on a f(x)>0. On pourra remarquer que x=(x : 2) + (x : 2)
4.En "fixant" x et en dérivant l'identité 1 par rapport à la variable y, montrer que, pour tt x de IR, f ' (x)=f '(0) X f(x)

C.Dans cette partie, on s'interresse à la solution particulière f du problème vérifiant f '(0)=1. On la notera f1.
On a donc f1(0)=1 et pour tt x de IR, f1 '(x)=f1(x).
1. En utilisant la méthode d'euler, compléter le tableau de valeurs approchées suivant:

x f1 '(x) f1(x)
0 ... ...
0,5 ... ...
1 ... ...
1,5 ... ...
2 ... ...
2,5 ... ...
3 ... ...

2.Tracer point par point la courbe de la fonction f1.

D.Expliquer comment, le raisonnement effectué à la partie C pourrait permettre de tracer la courbe de toute fonction solution f connaissant la valeur de f '(0)

Mes réponses... :

A. J'ai recherché ce que pouvait être la fonction nulle mais je n'ai pas trouvé beaucoup de renseignement... Elle s'annule toujours???

B.1.j'ai déjà raisonné par l'absurde. Il faut partir du fait que la fonction f s'annule? Je ne sais pas comment rédigé ma réponse...

2.cela signifie que f(o)=f(o) X f(o) ??? je ne vois pas comment montrer que cela fait 1..

3.j'ai compris que x=(x : 2)+(x : 2). comment cela peut nous aider à répondre à la question???

4. je ne comprend pas comment dériver l'identité 1

C.La méthode d'euler dit que pour tt h environ égal à 0, f(a+h) est environ égal à f(a) + hf ' (a). je sais qu'il faut calculer des valeaurs successives mais comme je n'ai pas réussi à dérivé l'identité 1, je ne peux pas remplir le tableau ni tracer la courbe.

D.je ne sais pas comment rédigé ma réponse.

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