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Dm

Mathematiques > sujets expliqués - 16/09/2008 - correction
                
Bonjour!

Répondons d'abord à la première question :

On va calculer A ; je calcule d'abord le numérateur (ce qui est en dessus du trait de fraction), et ensuite le dénominateur.
Numérateur :
8/7 - 4 = 8/7 - 28/7 = (8-28)/7 = -20/7.

*Attention, pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les mettre sous un dénominateur commun*

En multipliant par 2/5, j'obtiens :

-20/7 * 2/5 = (-20*2)/(7*5) = -40/35.
Cette fraction est réductible, mais ce n'est pas nécessaire de la réduire pour la suite du calcul (mais si tu veux la réduire, tu écris que ca vaut (-8*5)/(7*5) = -8/7. )

Ensuite on ajoute 1/5, on calcule donc :

-40/35 + 1/5 = -40/35 + 7/35 = (-40+7)/35
= -33/35.

Calculons le dénominateur à présent :

D'abord la multiplication, qui est prioritaire :
2/3 * 11/7 = (2*11)/(3*7) = 22/21

Ainsi, le dénominateur vaut :

8/3 - 22/21 +1 = 56/21 - 22/21 + 21/21 (je réduis au même dénominateur)
=(56-22+21)/21=55/21.

Donc A = (-33/35)/(55/21) = -33/55 * 21/35 = -3/5 * 3/5 = -9/25.

Calculons B :

Déjà, énonçons une règle importante : si tu as une fraction a/b à la puissance n, où n est un nombre entier relatif, par exemple n=-14, alors :
(a/b)^n=(a^n)/(b^n). ("^" signifie "puissance").

Ainsi, B = (7^-14)/(3^-14) * (sqrt(5)^-14)/(7^-14). (sqrt(5) signifie racine carrée de 5 ; la notation vient de l'anglais, où racine carrée se dit "square root").

Ainsi tu as 7^-14 au numérateur et au dénominateur, tu peux donc simplifier B en :
B = (sqrt(5)^-14)/(3^-14).

A présent, on va utiliser deux règles.
La première est que : x^-n = 1/(x^n), si x est un nombre réel et n un entier relatif (si n=0, bien sûr, x ne vaut pas zéro parcequ'on ne connaît pas 0^0!!!!!)

Ainsi, B = (3^14)/(sqrt(5)^14).

Seconde "règle" :

sqrt(5)^2=5. On utilise donc le fait que :

sqrt(5)^14 = sqrt(5)^(2*7) = (sqrt(5)^2)^7 = 5^7.

Ainsi, B = (3^14)/(5^7).

A et B sont rationnels, car ils s'écrivent comme quotient de deux entiers.
Seulement, tu dois savoir qu'une fraction irréductible est en fait un nombre décimal SI ET SEULEMENT SI son dénominateur n'admet que 2 et 5 comme diviseurs (en plus de 1 et lui même bien-sûr).
Donc, A n'est pas décimal et B est décimal. Et on ne peut pas dire mieux.

En revanche, tu as fait une erreur : tu avais trouvé B = sqrt(5)/3 (c'est faux, mais peu importe), et tu avais conclu que B est dans Q (c'est à dire que B est rationnel).
C'est faux!!! sqrt(5) n'est pas un entier (il n'est même pas rationnel, mais ça c'est un peu plus difficile à montrer) donc sqrt(5)/3 ne peut pas être rationnel!

Pour C et D : la calculatrice donne C=D... En effet, mais C est en fait différent de D!
La calculatrice calcule uniquement les 9 premières décimales de C et D, et trouve les mêmes valeurs. Mais je suis sûr que si tu regardes le 50ème décimale de C et de D, elles sont différentes!!!

En effet, C=sqrt(9^14 +1) et D=9^7=(sqrt(9)^2)^7=(sqrt(9))^14.
Donc C et D sont différents, car s'ils étaient égaux, alors C^2 et D^2 seraient égaux, or C^2=9^14+1 et D^2=9^14!

Seulement, C^2 et D^2 sont très proches, il n'y a qu'une unité de différence, ce qui n'est pas grand chose, vue la taille de ces deux nombres. C'est donc logique que leurs racines carrées soient presque les mêmes...

Pour E :
encore pareil, avoir (0.5)^6 au dénominateur c'est comme avoir 2^6 au numérateur.
Et avoir 5^-3 au dénominateur est comme avoir 5^3 au numérateur.
Donc E = (2^2 *3)^3 * (5^2)^51 * (2^4)^23 * 2^6 * 5^3 = 2^(2*3 + 4*23 + 6) * 3^3 * 5^(2*51 +3) = 2^104 * 3^3 * 5^105.

Ainsi, E=(2*5)^104 * 5 * 3^3 = 45*10^104 = 4.5*10^105.

Calculons F^2 :

on élève le numérateur au carré, et le dénominateur aussi.
On obtient :

F^2=(21-2sqrt(3))/25.

De même, G^2 = ((1+sqrt(3))^2)/25 = (1^2 + 2*1*sqrt(3) + sqrt(3)^2)/25 = (4+2sqrt(3))/25.

Ainsi, F^2+G^2 = 25/25 = 1, qui est bien dans Z.

Voilà, j'espère avoir été le plus clair possible, et je te souhaite bon courage pour la suite!
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