en une : Le lexique de français

"3 cercles tgts 2à2"

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Conversation avec le cyberprof

  
 
Enoncé & travail avant correction
soit 3 cercles de rayons r1,r2 et r3 tangents 2 à 2. Quels sont les rayons des 2 cercles tangents aux 3 cercles donnés (il y en a 1 "à l'intérieur" et 1 "à l'extérieur") merci d'avance AL" 		 
 
  Il y a forcément un cercle tangent intérieur: on imagine une bulle coincée dans l'interstice au milieu de cercle. Elle peut grossir tant qu'elle n'est pas en contact avec les trois cercles. En revanche il n'y a pas forcément de cercle extérieur : cela se voit en traçant les cercles de rayons R, R et R/10 par exemple. On peut résoudre le problème analytiquement mais c'est assez pénible. Je vais donner une carctérisation géométrique du centre du cercle tangent intérieur. [Mais il y a pas mal de détails de la démonstration à mettre au propre!] On commence avec deux cercles et l'on cherche le lieu géométrique des centres des cercles tangents à ces deux cercles. Soient A, B les centres deux cercles de rayons a, b. Soit M le centre d'un cercle tangent au deux premiers. Soit r son rayon. [Faire un dessin] On voit que MA = r+a et MB = r+b. Ainsi MA-MB = a-b. [Montrer réciproquement que MA-MB = a-b pour un point M signifie qu'il est le centre d'un cercle tangent aux deux premiers] Le lieu géométrique est ainsi donné par MA-MB = a-b. C'est une branche d'hyperbole. [On peut en trouver l'équation en passant aux coordonnées.] Avec trois cercles maintenant : en les prenant deux à deux on utilis ce que l'on vient de voir. Le centre d'un cercle tangent aux trois est donc l'intersection de trois branches d'hyperboles. [Réfléchir à pourquoi on peut se limiter à deux hyperboles.] On note A, B et C les centres des trois cercles tangents 2 à 2 de rayons a, b et c. Le centre d'un cercle tangent au 3 vérifie: MA-MB = a-b MB-MC = b-c Bon courage si tu dois donner une réponse analytique. [Le calcul est long et ardu mais de principe très simple.] "