Comment il faut procédé pour trouver la somme ?
Mathematiques > sujets expliqués - 06/02/2008 - correction
Conversation avec le cyberprof |
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Enoncé & travail avant correction " une somme quelconque étant donnée, trouver trois nombres dont le premier avec la moitié des autres, le second avec le tiers des autres et le troisième avec le quart des autres forment la somme donnée. " résoudre ce probème dans le cas ou la smme est 68 , en sachant qu' ici "nombre" est synonyme de nombre entier naturel. |
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Bonsoir, Il s’agit d’un problème de trois équations à trois inconnues, toutes du premier degré. En effet, nous recherchons trois nombres, et pour cela il nous faut bien trois équations indépendantes. Appelons x, y et z ces nombres, dans l’ordre (premier, deuxième, troisième dans l’énoncé). Traduisons l’énoncé : - le premier avec la moitié des deux autres fait la somme donnée, 68 : x (le premier) + y/2 + z/2 (moitié des deux autres) = 68 (somme donnée) ; - de même : le second avec le tiers des autres : y + x/3 + z/3 = 68 ; - toujours de même : le troisième avec le quart des autres : z + x/4 + y/4 = 68. Soit le système suivant : x + y/2 + z/2 = 68 x/3 + y + z/3 = 68 x/4 + y/4 + z = 68 Plusieurs solutions sont alors possibles. Dans tous les cas l’idée est de se ramener à deux équations à deux inconnues, système que l’on sait résoudre. Choisissons par exemple d’éliminer z et de tout exprimer en fonction de x et y, pour trouver déjà ces deux valeurs. On tire z de la dernière ligne, ce qui est plus simple : z = 68 – (x/4 + y/4) et on remplace z par cette valeur dans les deux premières lignes. Il vient : x + y/2 + ½*(68 – x/4 – y/4) = 68 x/3 + y + 1/3*(68 – x/4 – y/4) = 68 On effectue les calculs et on trouve : 7x/8 + 3y/8 = 68 – 68/2 = 34 x/4 + 11y/12 = 136/3 On multiplie la première ligne par 8 et sur la seconde, on transforme x/4 en 3x/12 avant de multiplier par 12 toute la ligne ; on obtient : 7x + 3y = 272 3x + 11y = 544 On peut alors résoudre par substitution ou par combinaison linéaire (ou même graphiquement, pourquoi pas, en traçant les droites d’équation y = … et cherchant leur intersection). Par exemple, faisons par combinaison linéaire 3 fois la première ligne moins 7 fois la deuxième pour éliminer les x. On trouve alors y = 3502/68 = 44. On repart d’une des deux lignes au choix pour avoir directement x = 20. Enfin, on remonte jusqu’à la ligne qui nous a donné z (68 – x/4 – y/4) et on remplace x et y par leurs valeurs, cela donne : z = 52. On vérifie que le système fonctionne avec ces valeurs, ce qui est le cas. On vérifie également que l’hypothèse complémentaire est vérifiée : tous les nombres solutions sont bien des entiers naturels (= positifs), donc la solution est bien acceptable à tous égards. Les nombres cherchés sont 20, 44 et 52. J’espère que tout est désormais clair et vous souhaite une bonne continuation. |
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