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Bonjour,

N’étant pas sûr de bien saisir les fonctions à étudier (je vois deux noms de fonction mais plus d’expressions, je ne suis pas sûr de bien comprendre), je vous corrige l’exercice pour les fonctions que je comprends. Je n’ai donc pas clos la question : dites-moi si cela vous convient et sinon, indiquez-moi les fonctions non traitées en retour et je vous réponds dans la foulée.

f(x) = sin(3x)cos(3x) :
• définie sur R, comme cos et sin, sans problème
• parité : f(-x) = -sin(3x)cos(3x) = -f(x) par parité de cos et imparité de sin  impaire
• zéros : cos(3x) = 0 ou sin(3x) = 0 donc 3x=+/-pi/2 ou 3x = +/-pi et on en déduit x modulo pi toujours
• période : comme cos et sin sont 2pi-périodiques, f est 2pi/3 périodique : f(x+2pi/3) = sin(3(x+2pi/3))*cos(3(x+2pi/3)) = sin(3x+2pi)cos(3x+2pi)=f(x)
• pour le graphe, tapez la fonction sur votre calculatrice et s’il vous faut l’image de l’intervalle [-pi ;pi], regardez le minimum et le maximum de la fonction sur cet intervalle et vous avez l’intervalle image (comme la fonction est continue, pas de « trou » dans le graphique)

f(x) = sin(3x)cos(3x)cos(x) définie sur R aussi :
• impaire par les mêmes calculs que ci-dessus
• zéros : les mêmes et par nullité du produit on rajoute cos(x)=0 soit x = pi/2 module pi
• période : pas de périodicité ici du coup à cause du produit qui contient 3x et x
• graphe et image : idem (l’énoncé parle de simplification, ici avec des 3x dans les cos et sin, il faut appliquer sin(a+b) puis sin(2a) puis pareil pour cos, cela ne simplifie pas vraiment pour létude de ces questions …)

f(x) = sinxcosx sur R :
• impaire (toujours pareil)
• zéros : ceux de cos et de sin (pi et pi/2 modulo pi)
• période : 2pi
• graphe et image : idem (ici, de -0,05 à 0,05 environ)

f(x)=1-2sin²x = cos²x – sin²x = cos(2x) d’après les formules trigo : définie sur R, pi-périodique, paire, de zéros pi/4 modulo pi car il faut que 2x = pi/2 modulo pi. Reste idem, pas de difficulté

f(x) =) cotan(2x) = 1/tan(2x) or d’après les formules trigo tan2x = 2tanx / (1-tan²x)
• donc f(x) = (1-tan²x)/2tanx
• donc définie partout sauf quand tanx=0, c’est-à-dire partout sauf en pi/2 modulo pi donc D = R \ {pi/2 + kpi / k app à Z}
• parité : f(-x) = -f(x) ; en effet tan est impaire : d’où le moins qui vient du dénominateur (au numérateur, il y a aussi un moins qui sort de tan, mais il est neutralisé par le carré)
• zéros : pour tan²x = 1 ie tanx = +