Exercice 1 : Irrationalité d'un nombre
Soit P(x) = x² + bx + c avec b et c entiers.
1. Montrer que si P(x) admet une racine x0 rationnelle, alors x0 est un entier.
2. En déduire que racine(n) est un rationnel si, et seulement si, n est un carré parfait.

Exercice 2 : n désigne un entier naturel non nul.
1. a) Pour 1 =< n =< 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3^n par 7 ... ... divise p², mais p et q sont premiers entre eux, seule solutions : q=1

X0=p

2)
n carré parfait => racine(n) est un entier, donc un rationnel

racine(n) est un rationnel, or c'est la solution de l'équation
x²-n=0
c'est donc un entier, et n est un carré parfait.

2)
3=3 modulo 7

pour passer au n d'après, il suffit de multiplier le résultat précédent par 3

3^2=9 modulo 7 = 2 modulo 7
3^3=6 modulo 7 = -1 modulo 7
3^4=-3 modulo 7 = 4 modulo 7
3^5=12 modulo 7 = 5 modulo 7
3^6=15 modulo 7 = 1 modulo 7

ne pas hésiter à vérifier à la calculatrice.
ie : (3^6-1)/7 est bien entier

J'utilise un Pass Liberté pour lire la fiche complète

accès immédiat, sans incription
- pass valable 7 jours
- je consulte l'intégralité de la fiche
- accès illimité au classeur
- je peux télécharger et imprimer les fiches

Vous préférez obtenir votre PASS par téléphone ? cliquez ci-contre