Type de demande : Correction
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On se propose de trouver si possible toutes les fonctions f définies continues et dérivables sur IR telles que:
pour tous x et y de IR, f(x+y)=f(x) X f(y) [identité 1]
A.Vérifier que la fonction nul définie par nul(x)=0 (fonction nulle) est une des solutions du problème.
B. Soit f une fonction solution quelconque du problème, autre que la fonction nul.
1.Montrer en raisonnant par l'absurde que la fonction f ne s'annule jamais, c'est-à dire que, pour tt x de IR, f(x) différent de 0.
2.Montrer que f(0)=1. On pourra prendre x=y=0 dans l'identité 1.
3.Montrer que pour tt x de IR, on a f(x)>0. On pourra remarquer que x=(x : 2) + (x : 2)
4.En "fixant" x et en dérivant l'identité 1 par rapport à la variable y, montrer que, pour tt x de IR, f ' (x)=f '(0) X f(x)
C.Dans cette partie, on s'interresse à la solution particulière f du problème vérifiant f '(0)=1. On la notera f1.
On a donc f1(0)=1 et pour tt x de IR, f1 '(x)=f1(x).
1. En utilisant la méthode d'euler, compléter le tableau de valeurs approchées suivant:
x f1 '(x) f1(x)
0 ... ...
0,5 ... ...
1 ... ...
1,5 ... ...
2 ... ...
2,5 ... ...
3 ...
(...)
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(...) Suite de la question (Voir directement la réponse)
...
2.Tracer point par point la courbe de la fonction f1.
D.Expliquer comment, le raisonnement effectué à la partie C pourrait permettre de tracer la courbe de toute fonction solution f connaissant la valeur de f '(0)
Mes réponses... :
A. J'ai recherché ce que pouvait être la fonction nulle mais je n'ai pas trouvé beaucoup de renseignement... Elle s'annule toujours???
B.1.j'ai déjà raisonné par l'absurde. Il faut partir du fait que la fonction f s'annule? Je ne sais pas comment rédigé ma réponse...
2.cela signifie que f(o)=f(o) X f(o) ??? je ne vois pas comment montrer que cela fait 1..
3.j'ai compris que x=(x : 2)+(x : 2). comment cela peut nous aider à répondre à la question???
4. je ne comprend pas comment dériver l'identité 1
C.La méthode d'euler dit que pour tt h environ égal à 0, f(a+h) est environ égal à f(a) + hf ' (a). je sais qu'il faut calculer des valeaurs successives mais comme je n'ai pas réussi à dérivé l'identité 1, je ne peux pas remplir le tableau ni tracer la courbe.
D.je ne sais pas comment rédigé ma réponse.
Bonjour ! Voici ma réponse...
Si tu souhaites approfondir le sujet, n'hésite pas à poser ta propre question.
DM 04/10/2008
La Fonction nulle est la fonction définie comme suit : pour tout x de R, nul(x)=0. C’est simplement la fonction constante égale à 0. (On la note aussi 0).
Soient x et y des réels. Nul(x+y)=0 et Nul(x).Nul(y)=0. Donc la fonction nulle vérifie (1). De plus la fonction nulle est de façon évidente continue et dérivable sur R.
1. Par l’absurde effectivement :
Rappel : f est solution du problème et n’est pas la fonction nulle. On va supposer que x s’annule sur R. On note a le réel en lequel elle s’annule. Donc f(a) = 0.
Soit x un réel quelconque f(x) = f(x-a+a) = f(x-a).f(a) = 0. (car f vérifie (1)). Le raisonnement est valable queluque soit x réel.
Donc pour tout x réel f(x) = 0. Ce qui signifie que f est la fonction nulle. CONTRADICTION
Conclusion : f ne s’annule jamais sur R.
2. On a supposé que f vérifie (1). Donc pour x=y=0 on a f(0)²=f(0).
Donc f(0)²-f(0)=0
Donc f(0)(f(0)-1)=0
Donc f(0) = 0 ou f(0)=1. Or on vient de voir à la question précédente que pour tout x, f(x)≠0 et en particulier f(0)≠0.
Donc f(0)=1.
3. On a toujours f qui vérifie (1). On a donc vu que pour tout x, f(x)≠0.
Soit x un réel quelconque. f(x)=f(x/2+x/2)= f(x/2).f(x/2)= 〖f(x/2)〗^2≥0 car c’est un carré
Donc f(x)≥0.
ET f(x)≠0 Donc f(x)>0
Conclusion : Pour tout x de R, f(x)>0
4. Pour bien rédiger cette question on va poser des fonctions qui ne sont pas dans l’énoncer. En fait tout repose sur le fait que l’on va dériver un fonction composée. Pour x un réel fixé.
On pose g : y→f(x+y)
On pose h : y→x+y
En fait g=foh c'est-à-dire g(y)=f[h(y)] pour tout y de R.
On rappelle que f(x) est une constante car x est fixé.
Donc l’équation (1) s’écrit aussi g(y) = f(x).f(y)
(g est bien dérivable et h aussi). En dérivant par rapport à y on a :
Pour tout y de R , g’(y)=f(x).f’(y)
Calcul de g’(y) : (c’est une fonction composée) :
g’(y) = h’(y).f’[h(y)] = 1.f’(x+y) = f’(x+y)
Finalement : Pour tout y réel, f’(x+y) = f(x).f’(y).
Donc pour y= 0 on obtient f’(x) = f’(0).f(x)
Le raisonnement est valable pour toute valeur de x que l’on fixée.
Conclusion : Pour tout x de R f’(x) = f’(0).f(x)
C . 1. Rappel : f1’(0)=1 et pour tout x de R f1’(x)=f1(x).
Tu as bien compris le système de la méthode d’Euler (qui est en fait une simple approximation de ta fonction) : on considère que h=0,5 est proche de 0.
f1(0)=1 (voir B.2.) et f1’(0)=1. Donc la première ligne du tableau est remplie.
f1(a+h)≈f1(a)+h.f1’(a) on prend a=0 et h=0.5
Donc f1(0.5) ≈ f1(0)+h.f1’(0)
D’où f1(0.5) ≈ 1+0,5*1 = 1,5
ET f1’(0,5) ≈f1(0,5) = 1,5
La deuxieme ligne est remplie.
Pour a = 0,5 et h=0,5 et avec la même méthode on obtient :
f1(1) ≈f1(0,5)+0,5*f1’(0,5)=1,5+0,5*1,5=2,25
et f1’(1)=f1(1) ≈2,25
On continue pour h=0,5 et a=1, a=1,5, a=2, a=2,5 et on a les résultats suivants. :
f1’(1,5)=f1(1,5)=3,375≈3,38
f1’(2)=f1(2)= 5,0625≈5,06
f1’(2,5)=f1(2,5)=7,59375≈7,59
f1’(3)=f1(3)=11,390625≈11,39
2. On peut donc tracer la courbe suivante : point par point : // il manque la courbe que je n'ai pas réussi à télécharger (si tu me donnes ton mail je te l'envoie)
Remarque : La fonction f1 est en fait la fonction exponentielle notée exp de R dans R que l’on te définira comme l’unique fonction f telle que pour tout x de R f’(x)=f(x) et f(0)=1.
D.. On considère une fonction f solution du problème :
a) Si f est la fonction nulle. Le tracé est évident.
b) Si f est non nulle :
On applique la même technique qu’au C.
f(a+h)≈f(a)+h.f’(a) pour h « assez petit »
En prenant par exemple a = 0 puis 0,5 puis 1 puis 1,5 …et h=0,5.
On connait f’(0) et f(0)=1 (question B.2.)
f(0,5)≈f(0)+0,5.f’(0) et on calcule f’(0,5)=f’(0).f(0,5) (question B.4.)
f(1)≈f(0,5)+0,5.f’(0,5) et on calcule f’(1)=f’(0).f(1)
Et ainsi dessuite on aura les valeurs de f(x) de proche en proche (on pourra tracer la courbe de f point par point).
Remarque :
En prenant h plus petit que 0,5 on pourrait avoir une approximation plus précise de la courbe représentative de f.
En prenant h négatif, on pourrait tracer la courbe pour les x négatifs.
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