soit un rectangle ABCD de ctre O et AB=8, CD=6, le produit scalaire AB.CM+BC.DM=4, déterminer l'ensemble des points M vérifiant la relation donnée. Je pense qu'il faut faire CM=CA+AM et DM=DA+AM mais je ne m'en sors pas. J'ai besoin d'aide
Merci

Réponse de nos Cyberprofs

ABCD est un rectangle donc
*H

D * * C AB= CD= 8


A * * B AD=BC = 6

Il faut simplifier l'expression et non pas la rendre plus compliquée.

AB.CM + BC.DM =AB.CM+BC.(DC+CM)
=AB.CM+BC.DC+BC.CM
=AB.CM+BC.CM car BC.CD=0
=CM.(AB+BC)
=CM.AC
Donc
AB.CM+BC.DM=4 est équivalent à

CM.AC=4

On cherche d'abord le point H(projection orthogonale du point M ) situé sur AC tel que

CH.AC=4 ( colinéarité)

Donc CH=4/AC or AC=10 (pythagore)


Donc CH= 0,4 ( à l'extérieur du rectangle, il appartient à la droite AC)

On revient à l'expression

CM.AC=(CH+HM).AC
=CH.AC+HM.AC
= 0,4.10+HM.AC

soit CM.AC=4 équivaut à:

0,4.10+HM.AC=4
4+HM.AC=4

D'ou HM.AC=0

HM est perpendiculaire à AC

L'ensemble des points est la droite perpendiculaire à AC passant par H