Type de demande : question
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je suis une élève de 3° et j'ai un problème concernant la géométrie voici le problème merci de m'aider
pauline
énoncé:
EFG est un triangle isocèle en E tel que FG=5cm et EG=6cm
Le cercle (C)de centre O et de diamètre [EG] coupe [FG] en K
Il a fallut placer un point P sur le segment [EG] (P ne devait pas etre placer en O j'ai donc placer P à 1cm de O).Ensuite tracer la parallèle à [EG] passant par P.Elle coupe (EF)en R
On obtient alors un triangle EPR qui est isocèle en E.On nomme x la longueur du segment [EP] exprimé en centimètres.
questions:
1)Démontrer que PR=5/6x.
2)Exprimer en fonction de x le périmètre du triangle ERP.
3)Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à: -7x/6 +17.
4)Peut on trouver une position du point P sur [EG]pour laquelle le triangle et le trapèze aient le meme périmètre ?justifiez la réponse.
(...)
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Bonjour ! Voici ma réponse...
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Bonjour Pauline,
Il ne faut pas que tu te restes bloquée à cause d'information de l'énoncé qui ne servent pas ou à cause d'une valeur que l'on appelle x juste pour que la solution soit juste quelle que soit la position du point P.
Sur les quatre questions de l'exercice que tu m'as donné, elles se résolvent toutes avec le théorème de Thalès et le fait que EGF est un triangle isocèle.
1) à partir du moment où on te fait tracer un triangle et une droite parallèle à un des cotés et qui coupe les deux autres cotés du triangle tu dois tout de suite penser aux triangles homothétiques et donc au théorème de Thalès. En effet, les triangles EPR et EGF sont deux triangles ayant deux cotés communs (EG et EF) et leur troisième coté sont parallèle (PR parallèle à GF) donc ils sont homothétiques et donc tu peux appliquer le théorème de Thalès c'est-à-dire que l'on a :
EP/EG = PR/GF En remplaçant par les valeur de chacun de ces segments tu trouves :
x/6 = PR/5
A ce stade il ne faut pas que tu te dises que c'est un problème d'avoir un x dans l'expression. Ici on te demande de trouver combien vaut PR pour n'importe quelle position de P sur [EG] il est donc normal que tu aies une expression qui dépende d'un paramètre inconnu qui ne peut être fixé que lorsque l'on choisi une position particulière de P. Tu trouves donc finalement une expression de PR en fonction de x qui vaut :
PR = 5x/6
2) Pour calculer un périmètre il suffit de faire la somme des longueurs de tous les cotés. Ici tu sais que le triangle EPR est isocèle et donc que EP = ER = x. Donc finalement le périmètre vaut EP + ER + PR = x + x + 5x/6 = 17x/6
3) De même le périmètre de PRFG c'est la somme PR+RF+FG+GP . Sur ces 4 longueurs tu connais déjà PR et GF. Quant à PG et RF dans les deux cas tu les détermines à partir de la longueur de EG (ou EF pour RF). En effet P appartient à EG donc on a EP+PG=EG donc PG = 6-x. En faisant cela tu obtiens bien que PR+RF+FG+GP = -7x/6+17
4) Pour cette question il faut bien que tu comprennes ce que tu as calculé aux deux questions précédentes : On a déterminé quelle est la valeur du périmètre de EPR et PRFG pour n'importe quelle position de P. On a de ce fait, obtenu des valeurs de périmètre qui dépende du paramètre x qui caractérise la position de P par rapport à E. Donc lorsque l'on te demande de trouver une position de P telle que les périmètres soient égaux, cela veut dire que tu dois trouver une valeur de x pour laquelle les valeurs des périmètres sont égales. Tu dois donc résoudre l'équation qui égale les deux valeurs des périmètres c'est-à-dire
17x/6 = 17-7x/6
En résolvant tu trouveras x = 51/12
Voilà Pauline. J'espère que cela t'aidera.
A bientôt.
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