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Question posée le : 28/01/2005
Matière : en mathématiques
Type de question : question
Titre de la question : RAPPORT ET COMPARAISON DES AIRES

Fichier(s) joint(s) : Aucun fichier attaché

Bonjour,
Je suis demandeur d'emploi et souhaite décrocher une formation pour laquelle je dois effectuer une remise à niveau en maths niveau terminale s.
La question porte sur le rapport et les comparaisons des aires;
voici l'énoncé :
Dans un triangle ABC,on marque sur ses côtés AB, BC et CA les points A', B' et C' tels que les segments AA',BB' et CC' soient respectivement égaux au :
1/3 de AB,au 1/4 de BC et au 1/5 de CA.
Trouver le rapport des surfaces des triangles A'B'C' et ABC.
Voici pour l'énoncé, je sais que la surface d'un triangle se calcule par (base X hauteur)/2 mais je ne sais pas comment utiliser ce théorème dans cet exercice.
Merci pour votre réponse  (...)

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Bonjour ! Voici ma réponse...

Si tu souhaites approfondir le sujet, n'hésite pas à poser ta propre question.

On demande un rapport et non l'aire de A'B'C' directement. Cela suggère qu'il faut arriver à exprimer la S(A'B'C') en fonction de la S(ABC).
Pour cela, il est nécessaire de définir d'autres termes :

Soit hb la hauteur issue de B dans le triangle ABC
Soit hc la hauteur issue de C dans le triangle ABC
Soit ha la hauteur issue de A dans le triangle ABC
Soit ha' la hauteur issue de A' dans le triangle AA'C'
Soit hb' la hauteur issue de B' dans le triangle BB'A'
Soit hc' la hauteur issue de C' dans le triangle CC'B'

On a S(ABC) = (BC.ha)/2 = (AC.hb)/2 =(AB.hc)/2

et S ( CC'B') = (CB'. hc')/2 avec CB' = 3/4 CB
S ( BB'A') = (BA'. hb')/2 avec BA' = 2/3 BA
S ( AA'C') = (AC'. ha')/2 avec AC' = 4/5 AC


S(A'B'C') = S (ABC) - ( S(CC'B') + S(BB'A') + S(AA'C') )

= S (ABC) - ( (3/4 CB . hc')/2 + (2/3 BA . hb')/2 + (4/5AC . ha')/2)

= S(ABC) - (3/8 CB . 1/5 ha + 2/6 BA . 1/4 hc + 4/10 AC . 1/3 hb)

= S(ABC) - (3/4 . 1/5 . (CB . ha / 2) + 2/12 (BA . hc/2) + 4/15 (AC.hb/2))

= S(ABC) - (3/20 S(ABC) + 2/12 S(ABC) + 4/15 S(ABC))

mettre S(ABC) en facteur
en déduire S(A'B'C')/S(ABC)

CQFD

Bon courage pour la suite,
Anne

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