Montrer que le volume du cône droit de révolution est :
V= PI/3*(2rh²-h^3)

Connaissant:
- O=centre de la sphère.
- A=sommet du cône droit.
- B et C sont deux point sur le cercle, à l'opposé de A, et forme le diamètre de la base du cône droit.
- H=centre du cercle de la base du cône.
- On nomme r=le rayon de la sphère.
- AH = h
- h = hauteur du cône.

Partant du volume du cône : V= PI/3*(Aire de la Base*Hauteur)
Il reste a prouver que :
(aire de la Base*la Hauteur)=(2rh²-h^3)
Ce que malgrés tout mes efforts je ne trouve pas.
merci d'avance.
Cordialement Matt.

Réponse de nos Cyberprofs

Bonjour, voilà la réponse à ton problème !
D'abord, un petit conseil: on te donne des points: A, B, C, H, etc... si on te les donne, c'est qu'il faut forcément s'en servir quelque part ! on ne te donnera jamais une indication au hasard !

Soit O le point diamétralement opposé à A (par rapport à H)
et l la distance OH

C appartient au cercle de diamètre OA: le triangle OAC est donc rectangle en C.

Soit l'angle ACH = x
alors l'angle HCO = 90 - x (puisque l'angle ACO = 90°)

Or le triangle HCO est rectangle en H par construction,
donc l'angle COH = 180° - HCO - OHC = 180 - (90-x)-90 = x
donc les angles ACH et COH sont égaux !

d'où l'égalité des tangentes: tan (ACH) = tan (COH)
i.e h/R = R/l
i.e R^2 = h*l

or l = 2r-h (le diamètre - la hauteur du cone)
d'où R^2 = h (2r-h)
i.e R^2 = 2rh - h^2

or le volume du cone est : V = 1/3 * aire de la base * h

i.e V = 1/3 * PI * R^2 * h
i.e V = PI/3 * (2rh-h) * h
i.e V = PI/3 * (2rh^2 - h^3) !!!!

CQFD !

bon courage pour la suite

Anne