td centre de gravités d'un triangle

partie A du centre de gravités vers les vecteurs

soit abc un triangle , G son centre de gravités et A' le symétrique de A par rapport à G.On note IJ et K les
millieux respectifs de [BC],[AB] et [AC].

1°) Démontrer que GBA'C est parallélogramme.

Dans ACA'
k est le milieux de [AC]
G est le milieux de [AA']
le vecteurs KG=1/2 du vecteurs A'C D'aprés le théorémedes milieux dans AA'C.
Donc le vecteurs GK est colineaires au vecteurs A'C donc (GK)//(A'C)
or (GK)=(BG) donc (BG)//(A'C)
De la mêmen maniére,on démontre que (GC)//(A'B)
alors GBA'C est un paralélogramme.

2°)Déterminant que les vecteurs GB+GC puis Démontrer que GA+GB+GC=vecteurs nuls

GB+GC=GB+BA' car GC=BA' d'aprés 1°)
=GA'
=AG car G est le milieux de [AA']
donc GB+GC-AG=vecteurs nuls
donc GA+GB+GC=vecteurs nuls

partie b et réciproquement (voir figure précèdente )

soit un point X du plan vérifiant XA+XB+XC=vecteurs nuls
Démontrer que X est le centre de gravité du triangle
ABC(pour cela exprimer XA+XB+XC en fonction de XG

XA+XB+XC=(XG+GA)+(XG+GB)+(XG+GC)
=3XG+GA+GA+GB+GC
=3XG
Donc si XA+XB+XC=vecteurs nuls, alors
3XG=vecteurs nuls donc X=G
Donc il n'y a pas d' autre point que G qui vérifie la relation GA+GB+GC=vecteurs nuls

partie C relation vectorielle liant A, G et I(milieu de BC).

1°)Demontrer que: AG = 2/3 AI
donc GBA'C ,si I milieu des diagonales (BU)et (GA) alors (BI)=(IU) et (GI)=(IA')
donc GI=1/2 GA'
alors AI=AG+GI
AI=AG+ 1/2 GA
AI=2/2 AG + 1/2 AG
AI=3/2 AG
2/3 AI = AG

2°)Ecrire deux autres relations analogues à AG = 2/3 AI

AI= 3/2 AG
IG= 2/3 IA

Réponse de nos Cyberprofs

Bonjour Nathalie,

Avant de rentrer dans le détail de chaque question sache que tu as donné une bonne réponse pour toutes les questions excepté la toute dernière. Je vais donc simplement te reprendre sur des problèmes de rédaction.

1) D'abord il faut que tu justifie que G est le milieu de [AA'] en rappelant que c'est parce que A' est le symétrique de A para rapport à G. Ensuite, tu peux effectivement utiliser le théorème des milieux dans cette question. En revanche le théorème des milieux dit deux choses bien distinctes. Il dit que si K est le milieu de AC et G est le milieu de AA' alors d'une part que KG = 1/2A'C et il dit aussi que (KG) est parallèle à (A'C). Lorsque tu cites le théorème des milieux, c'est effectivement le bon théorème mais tu n'invoque pas le bon argument car tu dis que KG = 1/2A'C. Tu dois dire « d'après le théorème des milieux K et G dans le triangle A'C, on sait que KG est parallèle à A'C ». Enfin tu peux tout à fait ne pas réécrire la démonstration complète pour prouver que (GC) // (A'B) mais tu dois quand même dire dans quel triangle tu fais cette démonstration. « la même démonstration appliqué au triangle AA'B avec les milieux G et J prouve que (GC)//(A'B) ». Note au passage que pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme tu n'es pas obligée de prouver le parallélisme des cotés opposé. Tu peux aussi prouver que ses diagonales se coupent en leur milieux ce qui était peut être plus facile à montrer ici, mais ta démonstration marche très bien.
2) La deuxième question est très bien faite. Juste un petit détail : « GC = BA' car GCA'B est un parallélogramme » En effet dans la première question on t'a fait démontrer que GCA'B était un parallélogramme, pas que GC = BA' (là j'avoue je chipote un peu !! ;-) )
Partie B :
Là aussi ta démonstration est très bonne mais n'oublie pas de dire entre la 2ème et la 3ème ligne de calcul que la simplification vient du fait que « par définition du centre de gravité on a GA + GB + GC = 0 (et fait attention dans ce que tu m'as envoyé tu as écrit GA + GA?)

Partie C :
1) l'idée de la démonstration est la bonne mais n'oublie pas que dans la rédaction tu dois toujours partir rigoureusement de ce que tu sais pour arriver à ce que tu veux montrer. Ici tu sais juste que GCA'B est un parallélogramme et que I est le milieu de [BC]. Il vaut donc mieux écrire « GCA'B étant un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu. Or I est le milieu de [BC], c'est donc aussi le milieu de [GA']. On a donc la relation GI = 1/2GA' » Le reste est bon.
2) Là tu n'a pas bien compris la question. En fait on vient de te faire montrer une relatin sur une des médianes du triangle ABC. Ce que l'on attend de toi c'est de dire que on peut refaire la même démonstration sur n'importe laquelle des médianes du triangle. C'est-à-dire que tu peux avoir el même genre de relation sur les médianes BK et CJ. C'est-à-dire par exemple que l'on a CG = 2/3CJ. Les relations que tu avais écrites n'étaient pas de nouvelles relation c'était exactement la même que celle que tu avais démontrer au C)1).

Voilà Nathalie, j'espère que ces petites remarques t'aideront à avoir une rédaction un tout petit peu plus rigoureuse mais globalement tu avais bien traité ce TD.

Je suis désolé du délai de la réponse qui exceptionnellement a été plus long.
A très bientôt.