on considère ds 1 repère orthonormé direct(o,i,j,k)soient A(3;2;0) ; B(2;1;2) et C(1;3;1) 3 points de ce repère. calculer les coordonnées du point D pour que ABDC soit un parallèlogramme.
je trouve D(2;4,-1)
je dois déterminer l'équation cartesienne du plan P contenant les points A,B,C et D.
Je ne sais pas comment faire?
merci de m'indiquer une marche à suivre ou un début de piste

Réponse de nos Cyberprofs

Bonjour !

Les coordonnées que tu as calculées pour le point D sont exactes.
Pour déterminer l'équation cartésienne du plan P, je te conseille d'écrire qu'un point M appartient au plan P si et seulement si le vecteur AM peut s'écrire comme une somme d'un vecteur proportionnel à AB, et d'un vecteur proportionnel à AD. En d'autres termes :
M appartient à P si et seulement si :
il existe deux réels (notons-les : p et q) tels que : vecteur AM = p.vecteur AB + q.vecteur AD
Cette équation peut se traduire en un système de trois équations :
1. abscisse du vecteur AM = p.abscisse du vecteur AB + q.abscisse du vecteur AD
2. ordonnée du vecteur AM = p.ordonnée du vecteur AB + q.ordonnée du vecteur AD
3. cote du vecteur AM = p.cote du vecteur AB + q.cote du vecteur AD

Si on note x, y et z les coordonnées du point M, on peut exprimer les coordonnées du vecteur AM en fonction de ces valeurs (quant aux coordonnées des vecteurs AB et AD, tu les connais, connaissant les coordonnées des points A, B et D). Il reste donc à réduire ce système (en faisant disparaître les paramètres p et q en combinant les 3 équations du système) pour obtenir l'équation cartésienne du plan P.