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 Déterminer et déduire le nombres d'éléves dan
 1 es
 pourcentage

Question posée le : 03/11/2004
Matière : en mathématiques
Type de question : question
Titre de la question : egnimes

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première egnime:
Soit ABCD un carré de côté x cm. On augmente le côté [AB] de 8 cm et le côté [AD] de 5 cm. On obtient ainsi un rectangle dont l'aire surpasse l'aire du carré initial de 183. Quelle est la mesure x du côté du carré?
seconde egnime:
Trouvez cinq entiers consécutifs tels que la somme des carrés des deux plus grands d'entre eux soit égale à la somme des carrés des trois nombres restants.

Pouvez-vous m'expliquer ces deux egnimes?  (...)

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Bonjour ! Voici ma réponse...

Si tu souhaites approfondir le sujet, n'hésite pas à poser ta propre question.

Bonjour Camille,

Ces deux énigmes ont pour but de te faire travailler les équations du second degré. Le plus important est en fait de bien « traduire » l'énoncé en langage mathématique.

Première énigme : L'aire d'un carré ou d'un rectangle est donné par le produit de ses cotés. Dans le cas du carré initial, le coté du carré vaut x donc l'aire du carré vaut x*x = x^2 (le signe ^2 veut dire puissance 2). Les cotés du rectangle valent respectivement 8cm et 5cm de plus que le coté du carré. Cela signifie que les cotés du rectangle mesurent x+8 et x+5 donc l'aire du rectangle vaut (x+8)*(x+5) = x^2 + 8x + 5x + 40 = x^2 + 13x + 40. Ensuite l'énoncé te dit que l'aire du rectangle mesure 183 cm^2 de plus que l'aire du carré donc l'aire du rectangle vaut x^2 + 183 . Les deux expressions que tu obtiens de l'aire du rectangle doivent bien évidemment être égales donc tu dois pouvoir écrire :
x^2 + 13x + 40 = x^2 + 183
tu peux simplifier cette équation comme suit :
13x + 40 = 183
c'est-à-dire :
x = 143 / 13 = 11

Deuxième énigme :

On te demande de trouver 5 entiers consécutifs. Donc si tu connais le premier tu connais tous les suivants puisque ce sont des entiers « consécutifs ». Pour résoudre ton exercice il te suffit donc de trouver le premier de ces 5 nombres. Appelons x ce nombre que l'on cherche. Les 5 nombres consécutifs peuvent alors s'écrire :
x , x+1 , x+2 , x+3 , x+4
Ensuite on te donne une information sur la somme des carrés des deux plus grands, c'est-à-dire la somme des carrés de x+3 et x+4. Cela s'écrit :
(x+3)^2 + (x+4)^2
si tu développes cette somme tu obtiens x^2 + 6x + 9 + x^2 + 8x + 16 = 2x^2 + 14x + 25 (pour faire le développement j'ai utilisé l'identité remarquable (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

cette somme doit être égale d'après l'énoncé à la somme des carrés des trois autres nombres. Cette deuxième somme s'écrit :
x^2 +(x+1)^2 +(x+2)^2 = x^2 + x^2 +2x +1 +x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 6x + 5

les deux sommes doivent être égales donc on doit écrire :

2x^2 + 14x + 25 = 3x^2 + 6x + 5

ce qui se simplifie :

x^2 -8x -20 = 0

tu te retrouves alors avec une équations du second degré diont tu trouves les solutions par la méthode habituelle en calculant le déterminant D = b^2 - 4ac et en donnant les solutions égales à (-b + racine (D))/2a et (-b - racine (D))/2a

Voilà Camille, j'espère que tout cela t?aidera.

A très bientôt.

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