Specialité (suite)
Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
Conversation avec le cyberprof |
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Enoncé & travail avant correction Dans le plan orienté muni du repère ortho- norme direct (0,u,v) on considère deux vecteurs w et w' tels que (u, w) = (v,w') = pi/6 Pour tout point M du plan, on mène la droite Dm diri- gée par w et la droite D'm dirigée par w'. La droite Dm coupe l'axe des abscisses en un point m et la droite D'm coupe l'axe des ordonnées en un point p. On appelle M' le point qui a même abscisse que m et même ordonnée que p. Le but de l'exercice est de déterminer la nature de la transformation qui à tout point M du plan associe ce point M'. 1. Figures a. Construire le point M' lorsque M est un point du plan n'appartenant pas aux axes du repère. b. Effectuer sur une autre figure la construction quand M est un point M1, de l'axe des abscisses autre que 0 et quand M est un point M2, de l'axe des ordonnées autre que 0. c. Quelle est l'image de 0 ? 2. Étude géométrique M étant un point quelconque du plan, montrer que : a. Les points 0, m, p, M et M' sont sur un même cercle (on étudiera le cas général puis on vérifiera que le résultat est encore vrai si M appartient à l'un des axes). b. Le triangle OMM' est rectangle en 0. c.(OM,ÔM')=pi/6 d.OM'=20M. e. En déduire que f est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. 3. Solution analytique a-Le point M ayant pour coordonnées (x;y), déter- miner les coordonnées de m et p en fonction de x et y puis en déduire que M' a pour coordonnées (x';y'}avec: x'=x-racine de 3*y y'=racine de 3*x +y b- Soit z=x+iy et z'=x'+iy' les affixes respectives de M et M'. Démontrer que z' = az où a est un nom- bre complexe à déterminer. c- Retrouver les résultats trouvés à la question 2e. Bonjour! Je voudrais que vous m'aidiez pour la question 3 en entier. Merci d'avance! | |||||
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Bonjour ! Pour la question 3 : a) Utilise la propriété : "m appartient à Dm" (respectivement : p appartient à D'm) pour écrire que : il existe un réel a tel que : xm=x+a.xw et ym=y+a.yw (avec xm,ym : coordonnées de m ; xw,yw : coordonnées du vecteur w) et respectivement : il existe b tel que : xp=x+b.xw et yp=y+b.yw Ensuite, comme tu connais ym et xp (par définition de m et p), calcule a et b : tu en déduiras la deuxième coordonnée de chacun de ces deux points, donc les coordonnées de M'. b) Il suffit ici de résoudre un système utilisant les deux équations démontrées en a : commence par convertir les abscisses en parties réelles, et les ordonnées, en parties imaginaires de nombres complexes. c) Ce résultat se déduit de la valeur de a, calculée à la questoin b : tu connais la description analytique d'une rotation (multiplication par un complexe donné), d'une homothétie, d'une translation ... Il fait reconnaître dans le nombre a la résultante de deux de ces transformations. | |||||
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