Markov super urgent merci

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple

Conversation avec le cyberprof

  
 
Enoncé & travail avant correction
On imagine 2 iles qui n\'ont d\'échanges qu\'entre elles. Chaque année l\'ile azur conserve 80 % de sa population et accueille 20% de l\'ile beauté. On suppose la stabilité des échanges et un solde naissance-décès nul. 1) Quel % de ses habitants l\'ile beauté conserve t\'elle? Quel % des habitants de l\'ile azur accueille t\'elle? 2) On note pn = an le vecteur colonne bn où: a désigne la population de l\'ile azur au début de l\'année 2000 + n b désigne la population de l\'ile beauté au début de l\'année 2000 + n a) Exprimer a1 et b1 en fonction de ao et bo b) En déduire la matrice A telle que p1 = A X po c) Exprimer a2 et b2 en fonction de a1 et b1 En déduire que p2 = A X p1 Puis exprimer, à l\'aide de A, la matrice B telle que p2 = B X p0 d) Exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de an et bn En déduire que p n+1 = A X pn A est dite matrice de transition. Exprimer à l\'aide de A, les matrices C,E et F telles que p3 = C X po P5 = E X po et p25 = F X po. 		 
 
  Bonjour ! 1) Puisque les deux îles n'échangent qu'entre elles, si "l'île azur conserve 80% de sa population", ça signifie qu'elle en perd 20%, qui vont nécessairement sur l'île beauté ; et réciproquement, puisque 20% de la population de l'île beauté va sur l'île azur, alors l'île beauté conserve 80% de sa population ... 2)a. C'est juste une traduction mathématique de la réponse à la question 1 ... b. ... Et ici, juste une traduction en matrice de ces deux équations (indice : tu dois trouver une matrice égale à sa transposée ...). c. Le début de cette question revient à refaire les calculs de 2.a et 2.b, mais sur un autre jeu de variable ; tu vas mettre en évidence que la matrice de passage de l'année 1 à 2 et la matrice A. Comme p1=Axp0 et que p2=Axp1, alors : p2=AxAxp0, donc ... d. Cette question est une généralisation de la question c : en effet, l'équation écrite en 2.a est valable pour tous les passages n -> n+1 (l'énoncé dit que les échanges entre les deux îles sont stables). Pour calculer les matrices C, E et F, il faut prolonger le calcul qui, en 2.c, te permettait d'écrire : p2=AxAxp0 (il existe une relation de récurrence).