suites et arithmétique ...

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Sujet / exercice : suites et arithmétique ...
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Bonjour j'ai un exercice urgent pour demain et je n'arrive pas du tout à le commencer. Pouvez me mettre sur la bonne voie (sans me donner la solution) en me donnant quelques indications afin que je puisse le comprendre ??

II.On considère les suites (x(n)) et (y(n)) définies pas x0=1, y0 =8 et le système :

x(n+1)=(7/3)x(n)+(1/3)y(n)+1
y(n+1)=(20/3)x(n)+(8/3)y(n)+5 n appartenant à N

1.Montrer, par récurrence, que les points Mn de coordonnées (x(n),y(n)) sont sur la droite (delta) dont une équation est 5x-y+3=0. En déduire que x(n+1)=4x(n)+2.

2.Montrer, par récurrence, que tous les x(n) sont des entiers naturels. En déduire que tous les y(n) sont aussi des entiers naturels.

3.Montrer que :
a.x(n) est divisible par 3 si et seulement si y(n) est divisible par 3.
b.Si x(n) et y(n) ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux

4.a.Montrer, par récurrence, que x(n)=(1/3)(((4 puissance n) multiplié par 5) ?2)
b.En déduire que (((4 puissan ... ...

ce n) multiplié par 5) ?2) est un multiple de 3, pour tout entier n.

1.Pour la première question, je te conseille d'utiliser ton hypothèse de récurrence ("5x(n)-y(n)+3=0") pour exprimer y(n) en fonction de x(n) ; remplace alors y(n) par cette expression dans les expressions de x(n+1) et y(n+1), et regarde combien vaut 5x(n+1)-y(n)+3 ...
Pour la deuxième question : l'équation de cette droite met en relation x(n) et y(n) : utilise-la pour remplacer y(n) dans l'expression de x(n+1).
2.Si x(n) est un entier naturel, que peux-tu dire de 4x(n)+2 ? Pour y(n), utilise l'équation de la droite, qui te met en relation x(n) et y(n).
3.a et b.Pars de l'équation de la droite, pour chacune de ces deux questions.
4.a.Utilise la formule démontrée en 1 ("x(n+1)=4x(n)+2").
b. Utilise ici les résultats des questions 3, et le résultat de la question 4.a

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