J'aimerai connaître les résultats de cet exercice et la manière dont résoudre les questions au plus vite SVP!!!


Les fournitures

Une entreprise doit acheter au minimum 1200stylos rouges,3200stylos noirs et 3000 stylos bleus. Un fournisseur propose le lot A de 30 stylos rouges, 40 stylos noirs et 30 stylos bleus pour 75 F. Un autre fournisseur propose le lot B de 10 stylos rouges, 40 stylos noirs et 50 stylos bleus pour 60 F.
Le but du problème est de déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B que l’on doit acheter pour que la dépense soit minimale, et les besoins satisfaits.
1°)a. Traduisez par des inéquations d’inconnues x et y les besoins d’achat.
b. Dans un repère orthogonal, représentez l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient les inéquations de a.

2°)a. Déterminer le nombre x1 de lots A et le nombre y1 de lots B, pour que les besoins minimaux en stylos rouges et en stylos noirs soient exactement satisfaits.
b. Déterminer le nombre x2 de lots A et le nombre y2 de lots B, pour que les besoins minimaux en stylos noirs et en stylos bleus soient exactement satisfaits.
c. Montrer qu’on ne peut pas satisfaire exactement les besoins minimaux d’achat pour les 3 types de stylos.

3°)a. Calculez la dépense occasionnée par l’achat de x2 lots A et y2 lots B.
b. Montrez que l’on peut dépenser moins.

4°)a. Calculez la dépense occasionnée par l’achat de x1 lots A et y1 lots B.
b. Montrez que l’on ne peut pas dépenser moins.
Combien de stylos a-t-on en trop ?
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Réponse de nos Cyberprofs

Salut !

1)a. Puisqu'il faut au moins 1200 stylos rouges, et qu'il y en a 30 dans le
lot A et 10 dans le lot B, alors il faut que : 30x+10y >= 1200 (je note >=
pour "supérieur ou égal"). De la même manière pour les stylos noirs :
40x+40y >= 3200 ; et pour les stylos bleus : 30x+50y >= 3000.

b. Pour représenter graphiquement l'ensemble des points vérifiant ces
inéquations en x et en y, il faut commencer par mettre les 3 inéquations
sous une forme plus utilisable, avec y a gauche de l'inéquation, et x et les
réels à droite. Ainsi, la première inéquation devient :
10y >= 1200-30x
y >= 120-3x
De même, les deux autres deviennent : y >= 80-x et : y >= 60-0,6x.

Ensuite, trace sur ton repère orthonormé les trois droites (y=120-3x),
(y=80-x) et (y=60-0,6x). Les points (x,y) dont les coordonnées vérifient à
la fois les trois inéquations sont donc les points pour lesquels y est
supérieur à la fois à 120-3x, à 80-x, et à 60-0,6x : ce sont les points
(x,y) situés au-dessus des trois droites à la fois. Donc, ce sont les points
au-dessus de la plus haute des trois droites, pour chacun des x.

2)a. Ici, on te demande de résoudre le système :
30x1+10y1 = 1200 ET 40x1+40y1 = 3200 (c'est la condition pour que l'on
achète exactement le bon nomgre de stylos rouges et noirs, et pas trop). Tu
remarqueras que, par définition, (x1,y1) sont donc les coordonnées du point
d'intersection de deux des droites de la question 1.b ...

b. Le système à résoudre est ici : 40x2+40y2 = 3200 ET 30x2+50y2 = 3000. Là
encore, la solution est le couple de coordonnées d'une intersection de
droites de 1.b

c. En calculant les solutions des deux systèmes de 2.a et 2.b, tu as vu que
ces solutions (x,y) étaient distinctes : il est donc impossible de
satisfaire simultanément la condition "on achète juste ce qu'il faut en
stylos rouges et noirs" et "on achète juste ce qu'il faut en stylos noirs et
bleus". Donc (du fait de la composition des lots A et B, qui ne permet pas
de trouver une combinaison parfaite pour acheter juste ce qu'il faut), on
est obligé d'acheter trop de stylos.
Ce résultat se traduit, sur le graphe de 1.b, par le fait que les trois
droites ne sont pas concourrantes : le point d'intersection de la question
2.a n'est pas le même que celui de la question 2.b, donc il est impossible
de vérifier simultanément les deux équations.

3)a.Bien entendu, le prix est : prix du lot A * nombre de lots A achetés +
prix du lot B * nombre de lots B achetés. Avec les notations de l'exercice,
ce prix est donc : 75.x2+60.y2.
b. Trace, sur le même dessin qu'en 1.b, la droite d'équation
75.x+60.y-(75.x2+60.y2)=0 (c'est à dire : y=-1,25.x+1,25.x2+y2).
S'il existe des points de la zone définie en 1.b (c'est à dire : au-dessus des
trois droites) situés en-dessous de la droite (y=-1,25.x+1,25.x2+y2), alors ça
signifie que ces points (x,y) (qui permettent à l'entreprise d'acheter
suffisamment de stylos, puisqu'ils sont au-dessus des trois droites) ont un
coût inférieur à celui du point (x2,y2).

4.a)La dépense est ici : 75.x1+60.x1
b. Il suffit de vérifier (pour la même raison qu'en 3.b) qu'aucun point
situé au-dessus des trois droites n'est situé en-dessous de la droite
d'équation 75.x+60.y-(75.x1+60.y1) ...
Pour calculer le nombre de stylos en trop : par définition, le point (x1,y1)
te permet d'acheter juste ce qu'il faut en stylos rouges et noirs, donc les
stylos en trop seront bleus. Il faut donc calculer (grâce à la composition
des lots A et B) combien il y a de stylos bleus dans x1 lots A + y1 lots B,
sachant qu'il faut 3000 stylos bleus ...
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