le principe de récurrence

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Thème abordé : recurrence
Cours : le principe de récurrence

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PRINCIPE

C'est un raisonnement utile lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant d'un entier n, est valable quel que soit $n$

. La propriété sera notée $P(n)$

.

Exemple : la propriété $P(n)$

peut être " le carré de $n$

est supérieur ou égal à n ". ... ... Si on arrive à démontrer que la validité de $P(n_{0})$ (avec $ n_0 $

: un certain entier) entraîne la validité de $P(n_{0}+1)$ , alors il suffit de montrer que, pour un certain entier $ n_1 $

n₁, la propriété est valide, pour qu'elle soit valide à tous les rangs supérieurs à $ n_1 $

.

Ainsi, sans préjuger de la validité de $P(n_{0})$ , on regarde ce que ça impliquerait ... ...

au rang $n_{0} + 1$ ; il est tout à fait possible que la validité de $P(n_{0})$ implique la validité de $P(n_{0}+1)$ , sans que la propriété P ne soit valide pour quelqu'entier que ce soit : on reste alors dans la virtualité ; si en revanche, on montre qu'à un certain rang n, elle est vraie (en faisant le calcul, tout simplement), alors on ancre cette ribambelle de validités de propriétés dans la réalité ...

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