en une : Le raisonnement par récurrence

Systèmes d'équations et d'inéquations

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Un système d'équations (respectivement : d'inéquations) est un ensemble d'équations (resp. : d'inéquations) ; " résoudre le système ", c'est trouver les valeurs des différentes inconnues du système qui obéissent à toutes les équations (resp. : inéquations) du système.

MÉTHODES POUR RÉSOUDRE UN SYSTÈME D'INÉQUATIONS

La substitution



Elle consiste à utiliser une équation pour exprimer l'une des inconnues en fonction des autres, puis remplacer, dans toutes les autres équations du système, cette inconnue par son expression en fonction des autres ; on a alors fait disparaître une inconnue, ça en fait une de moins à calculer...

On répète l'opération jusqu'à n'avoir plus qu'une inconnue ; si le système admet une solution unique, cette inconnue sera facilement calculable : elle sera la solution d'une équation à une inconnue. On calcule ensuite chacune des autres inconnues en utilisant les différentes relations entre inconnues, dont on s'est servi pour réduire le nombre d'inconnues.

La combinaison

C'est une méthode en général plus légère ; elle consiste à réaliser des opérations sur les différentes équations du système (exemple : je fabrique une nouvelle équation en additionnant la première équation et deux fois la deuxième équation), de manière à réduire le nombre d'inconnues, et, là encore, à terminer par une équation à une seule inconnue, et en déduire successivement les valeurs de toutes les autres. En combinant les équations, il faut bien prendre garde à ne pas " perdre d'information " : il faut veiller à utiliser chacune des équations au moins une fois, dans une combinaison, et ne pas faire des combinaisons redondantes (exemple : si une combinaison est : $ L_{1} + 2 L_{2} $, et qu'une autre combinaison est : $ 2L_{1} + 4L_{2} $, la deuxième combinaison n'apporte aucune nouvelle information).