Ce sont des équations dans laquelle l’inconnue est à la puissance 2, et éventuellement à des puissances inférieures. Exemple : 2x² = 4 est une équation du second degré, mais aussi 2x² + 3x = 5 (qui fait intervenir x).

Méthodes de résolution d’une équation du second degré

1. En utilisant les formes canoniques  : on ramène l’équation à une forme (x+a)(x+b)=0, ou bien : (x+a)² = b ; ces équations sont ensuite simples à résoudre.

si (x+a)(x+b)=0 par exemple, les solutions sont de façon évidente -a et -b

si (x+a)² = b, il n’y a pas de solution si b <0, une solution si b= 0 (c’est -a), deux solutions si b>0 : il suffit de passer b dans l’autre membre de l’équation et de reconnaître une identité remarquable de la forme M²-N²

2. Lorsqu’il est impossible de se ramener à une forme canonique, ou qu’il n’est pas évident de trouver a et b tels que : (x+a)(x+b)=0 : on calcule le discriminant de l’équation ; son signe nous renseigne sur le nombre de solutions (aussi appelées : racines), et sa valeur nous donne les solutions éventuelles.

Le discriminant

Soit l’équation : ax² + bx + c = 0 (avec a non nul). Le discriminant D vaut : b² - 4ac.

Si D<0 : l’équation n’admet aucune racine réelle.

Si D=0 : elle admet une unique racine, la " racine double ", qui vaut :

Si D>0 : elle admet deux racines réelles, qui valent : et

• Lorsque l’équation n’admet pas de racine réelle (cas " D<0 "), l’expression ax² + bx + c est du signe de a sur l’ensemble des réels.
• Lorsque l’équation admet une racine double (cas " D=0 "), l’expression ax² + bx + c est du signe de a sur l’ensemble des réels sauf à la racine, où elle est évidemment nulle (par définition de la racine).
• Lorsque l’équation admet deux racines réelles (cas " D>0 "), l’expression ax² + bx + c est du signe de a en-dehors de l’intervalle des racines, elle est de signe opposée entre les racines, et naturellement (par définition des racines), elle s’annule à chacune des deux racines.

Ces propriétés permettent de résoudre les inéquations du second degré. Par exemple, pour résoudre " ax² + bx + c > 0 ", on étudie l’existence et le nombre des racines de l’équation ax² + bx + c = 0 ; les propriétés ci-dessus permettent de déterminer sur quels ensembles l’expression ax² + bx + c est strictement positive.

Fonctions polynômiales du second degré

Ce sont des fonctions de la forme : f(x) = ax² + bx + c ; l’étude du signe de ces fonctions se ramène donc à des résolutions d’équations du second degré.